Question

6. Hallar el volumen del solido que se genera al girar la región plana

 R: { y=x ^2
  { y= √8     alrededor del eje x (ver figura). El volumen se expresa en unidades cúbicas

Answer 1

Lo primero, será definir que,

$f(x)=\sqrt{8x};\hspace{6mm}g(x)=x^{2}$

entonces, el área que vamos a hacer girar estás de acuerdo que es la resta de dos funciones, haber,

$A=\displaystyle\int_{a}^{b}{f(x)}dx-\int_{a}^{b}{g(x)}dx$

si verdad, es como encuentra el volumen bajo la curva raíz de ocho equis, y a ese volumen le resto el volumen de hacer girar el área bajo la curva equis al cuadrado....el volumen de la primera función es considerar el volumen de un disco...entonces,

 $A=\displaystyle\int_{a}^{b}{\pi f(x)^{2}}dx-\int_{a}^{b}{\pi g(x)^{2}}dx$

ahora, como los límites de integración son los mismo, entonces podemos comprimir todas en una sola,

$A=\displaystyle\int_{a}^{b}{[\pi f(x)^{2}-\pi g(x)^{2}]}dx=\int_{a}^{b}{\pi [f(x)^{2}- g(x)^{2}]}dx$

y ahí tenemos la fórmula, solo nos faltaría hallar  los límites de integración, para eso puedes usar la gráfica que ya tienes....o sino, basta con igualar las dos funciones,

$\sqrt{8x}=x^{2} \\ 8x=x^{4} \\ x^{4}-8x=0\\x(x^{3}-8)=0\\x=0\hspace{6mm}x^{3}-8=0\\x=0\hspace{6mm}x^{3}=8\longrightarrow x=2$

y ya tenemos los dos límties de integración,

$A=\displaystyle\int_{a}^{b}{\pi [f(x)^{2}- g(x)^{2}]}dx=\displaystyle\int_{0}^{2}{\pi [(\sqrt{8x})^{2}- (x^{2})^{2}]}dx=...\\\\\\...=\pi\int_{0}^{2}{\pi[8x-x^{4}]}dx=\pi\left(4x^{2}-\frac{x^{5}}{5}\right|_{0}^{2}=....\\\\\\...=\pi\left[\left(4(2)^{2}-\frac{(2)^{5}}{5}\right)-\left(4(0)^{2}-\frac{(0)^{5}}{5}\right)\right]=\frac{48}{5}\pi\approx$

bueno, ahí le calculas el valor aproximado...y eso sería todo

Answer 2

El volumen del sólido tiene un valor de 48π/5 unidades cubicas al girar la región plana.

Explicación:

Inicialmente tenemos dos ecuaciones fundamentales, tales que:

• y = √(8x)
• y = x²

Buscamos los puntos de corte, tal que igualamos las funciones y tenemos:

√(8x) = x²

8x = x⁴

x⁴ - 8x = 0

x·(x³-8) = 0

x·(x-2)·(x²+2x+4) = 0

Tenemos dos soluciones, tales que:

• x₁ = 0
• x₂ = 2

Ahora, el volumen por solido revolución viene dado como:

• V = ∫π·r²(x) dx

Ahora, los radios externos se suman y los radios internos se restan, sabemos que el radio de giro es en y = 0, entonces:

V = ∫₀² π·(√(8x) - 0)² dx - ∫₀² π·(x²-0)² dx

Ahora resolvemos y tenemos que:

V = π·(4x²)|₀² - π·(x⁵/5)|₀²

V = π·(4·2²) - π·(2⁵/5)

V = 48π/5

Siendo el volumen de la región igual a 48π/5 unidades cubicas.

Mira otro ejercicio similar en este enlace https://brainly.lat/tarea/10993678.