6. En un semáforo en el instante t = 0 parte un auto desde el reposo con una aceleración de 2 m/s2. Después de 8 segundos pasa por el mismo semáforo en la misma dirección y sentido otro auto. Determine la velocidad mínima que deberá tener este último auto para que al menos logre alcanzar al primer auto
Respuestas a la pregunta
Veamos.
La posición del primero es:
x = 1/2 . 2 m/s²
La posición del otro, con velocidad V es:
x' = V (t - 8 s)
Lo alcanza cuando sus posiciones sean iguales; omito las unidades.
t² = V (t - 8); o bien:
t² - V t + 8 V = 0
Ecuación de segundo grado en t.
Para que lo alcance la ecuación deberá tener un valor de V de modo que t sea mínimo real
Hay valores reales para la ecuación de segundo grado si su discriminante es positivo.
El valor mínimo corresponde para el discriminante sea nulo.
Δ = b² - 4 a c = V² - 4 . 1 . 8 V = 0
V² - 32 V = 0; para V ≠ 0 es:
V = 32 m/s
Corresponde un tiempo de:
t² - 32 t + 8 . 32 = 0
t² - 32 t + 256 = 0
Esta ecuación tiene una única solución ya que es un trinomio cuadrado perfecto.
(t - 16) = 0
O sea t = 16 st = 16 s
Verificamos la posición para este instante y esta velocidad:
x = 16² = 256 m
x' = 32 (16 - 8) = 256 m
Además en ese punto la velocidad del primero debe ser 32 m/s
Recordemos que la velocidad es la derivada de la posición.
V = 2 t = 2 . 16 = 32 m/s
Adjunto gráfico con el punto de encuentro destacado.
Saludos.
