Question

6) El producto de los cuatro términos de una progresión geométrica continua es 20 736. Si la suma de los extremos es 26, hallar la diferencia de los extremos.

Answer 1

Respuesta:

Explicación paso a paso:

$a_{1} ,a_{2} ,a_{3} ,a_{4} .$

$n= 4$

$P_{4} =20736$

Suma de los extremos: $a_{1}+a_{4} =26, entonces: a_{4} =26-a_{1}$ ( I )

$Producto: P_{n} = \sqrt{(a_{1} *a_{n} )^{n} },entonces: P_{4} =\sqrt{(a_{1} *a_{4} )^{4} }$

$20736 = \sqrt{(a_{1}*a_{2} )^{4} }$  ( II )

Reemplazando ( I ) en ( II ).

$20736 = \sqrt{[a_{1} *(26-a_{1} )]^{4} }$

Elevando al cuadrado en ambos miembros:

$(20736)^{2} = (\sqrt{(26a_{1}-a^{2} _{1} )^{4} } )^{2}$

$(20736)^{2} =(26a_{1} -a_{1} )^{4}$

$[(144)^{2} ]^{2} = ( 26a_{1} -a^{2} _{1} )^{4} , entonces: (144)^{4} =( 26a_{1} -a^{2} _{1} )^{4}$

Buscamos raíz cuarta en ambos miembros:

$\sqrt[4]{(144)^{4} } =\sqrt[4]{(26a_{1} -a^{2} _{1} )^{4} } ,entonces: 144 = 26aa_{1} -a^{2} _{1}$

$a^{2} _{1} -26a_{1} +144=0$

Por el método de factorización:

$(a_{1} - 18)(a_{1} -8)=0$

$a_{1} = 18 ; a_{1} = 8$

Reemplazando " a1 " en ( I ):

$a_{4} = 20-a_{1}= 26-18 = 8$

$a_{4} = 26-a_{1} =26-8 =18$

La diferencia de los extremos es:

$a_{4} -a_{1} = 18-8 = 10$

RESPUESTA:

       10