Question

=
56. Determina la ecuación de la elipse en cada caso:
a) Centro en C(3,1), foco en F(3,4) y excentricidad e = 0,25.
b) Centro en C(-2,-2) y vértice en A(-2,-1); pasa por el ori-
gen.
nustle
c) Vértices en A'(0,4) y A(4,4); eje menor de longitud 2.
cionalnu colab Isoisi sa
1
d) Focos en F(2,1) y F'(2,5); excentricidad e ==
3
e) Vértice en el eje mayor: A(5,12); y en el menor: B(9,6).

Answer 1

Respuesta:

1 Hallar la ecuación de lugar geométrico de los puntos   cuya suma de distancias a los puntos fijos  y   sea igual a .

 

Solución

Buscamos que la suma de las distancias  y  sea siempre igual a , es decir,

 



 

Por lo tanto, tenemos que,

 



 

Si despejamos una raíz, se obtiene

 



 

Luego, elevando al cuadrado, tenemos que

 



 

Observemos que el término  se encuentra a ambos lados de la ecuación. Por tanto, podemos cancelarlo, de manera que nos queda

 



 

Si expandimos los dos binomios al cuadrado, tendremos que,

 



 

Luego, reagrupando términos semejantes  dividiendo la ecuación por —, tenemos

 



 

Ya nos deshicimos de un radical. Para deshacernos del otro repetimos el procedimiento. Elevamos al cuadrado la expresión, expandemos los binomios al cuadrado y reagrupamos términos:

 



 

es decir,

 



 

 

 

2 Hallar la ecuación de la elipse de foco , de vértice  y de centro .

 

Solución

Sabemos que el semieje mayor es la distancia entre el centro  y el vértice , es decir,

 



 

Asimismo, la semidistancia focal es la distancia entre el centro  y el foco  de la elipse —que es la mitad de la distancia entre los dos focos—, esto es,

 



 

Por último, el semieje menor se calcula mediante

 

1 Hallar la ecuación de lugar geométrico de los puntos   cuya suma de distancias a los puntos fijos  y   sea igual a .

 

Solución

Buscamos que la suma de las distancias  y  sea siempre igual a , es decir,

 



 

Por lo tanto, tenemos que,

 



 

Si despejamos una raíz, se obtiene

 



 

Luego, elevando al cuadrado, tenemos que

 



 

Observemos que el término  se encuentra a ambos lados de la ecuación. Por tanto, podemos cancelarlo, de manera que nos queda

 



 

Si expandimos los dos binomios al cuadrado, tendremos que,

 



 

Luego, reagrupando términos semejantes  dividiendo la ecuación por —, tenemos

 



 

Ya nos deshicimos de un radical. Para deshacernos del otro repetimos el procedimiento. Elevamos al cuadrado la expresión, expandemos los binomios al cuadrado y reagrupamos términos:

 



 

es decir,

 



 

 

 

2 Hallar la ecuación de la elipse de foco , de vértice  y de centro .

 

Solución

Sabemos que el semieje mayor es la distancia entre el centro  y el vértice , es decir,

 



 

Asimismo, la semidistancia focal es la distancia entre el centro  y el foco  de la elipse —que es la mitad de la distancia entre los dos focos—, esto es,

 



 

Por último, el semieje menor se calcula mediante

 

Por último, el semieje menor se calcula mediante

 



 

Así, la ecuación reducida de la elipse está dada por

 



 

La gráfica de la elipse es la siguiente:

 

 

3 Halla la ecuación de la elipse conociendo que:

 









Solución



 

Describiremos detalladamente el primer inciso. Los demás estarán más resumidos.

 

Sabemos que el semieje mayor es la distancia entre el centro  y el vértice , es decir,

 



 

Asimismo, la semidistancia focal es la distancia entre el centro  y el foco  de la elipse —que es la mitad de la distancia entre los dos focos—, esto es,

 



 

Por último, el semieje menor se calcula mediante

 



 

Así, la ecuación reducida de la elipse está dada por

 

 

 

 Tenemos que,

 



 

Por tanto, el semieje menor está dado por,

 



 

Así, la ecuación reducida de la elipse es:

 



 

Observemos que, en este caso, dividimos  por  en lugar de . Esto se debe a que el eje mayor es vertical (observemos que tanto ,  y  tienen mismo valor en su coordenada ).

 



 

Observemos que las coordenadas  de los tres puntos es la misma. Por lo tanto, el eje mayor es vertical. Así, tenemos que

 



 

Por tanto, el semieje menor está dado por,

 



 

Así, la ecuación reducida de la elipse es:

 



 



 

Notemos ahora que son las coordenadas  las que se encuentran fijas en cada punto. De este modo, el eje mayor de la elipse será horizontal. Así, tenemos que

 



 

Además,

 



 

Por lo tanto, la ecuación reducida será

 



 

 

4 Determina la ecuación reducida de una elipse sabiendo que el eje mayor es horizontal, uno de los focos dista  de un vértice y  del otro, y cuyo centro se encuentra en el origen.