Question

50 PUNTOS!!

Sea f(x) 2x^2+bx+c determinar b y c de modo que el punto (1 ; -9/2) sea el vértice de su gráfico. Para los valores de b y c hallados dar el conjunto de positividad de f(x)

Answer 1

Respuesta:

f(x)=2x²+bx+c

Datos presentes:

a = 2 ^ a > 0 , la parabola tiende hacia ↑

Conociendo que el punto de la parabola es (1 , $-\frac{9}{2}$) , y a = 2, tienes que plantear la ec. cuadratica en su forma canonica:

f(x) = a (X-Xv)² + Yv

(Xv,Yv) corresponde al punto de la parabola, a esta dado, solo tienes que reemplazar

f(x) = 2 (X-1)² + $-\frac{9}{2}$

Teniendo la formula en su forma canonica, ahora puedes pasarla a polinomica ax2+bx+c

Debes despejar (X-1)² como cuadrado de binomio

Quedará expresado como

(X-1)²  = X² -2X+1

Ahora solo debes sustituir y resolver

f(x) = 2(x² -2x+1) + $-\frac{9}{2}$

f(x) = 2x²-4x+2+$-\frac{9}{2}$

f(x) = 2x²-4x+$-\frac{13}{2}$

a = 2, b = -4, c = $-\frac{13}{2}$

Para obtener el conjunto de positividad necesitas conocer las raices (el conjunto de ceros para f(x) )

Para ello aplicas la ec. resolvente de una f. cuadratica

$\frac{-b+-\sqrt{b^{2}-4ac } }{2a}$

Ello te dará dos resultados:

x1 = $\frac{2+\sqrt{17} }{2}$

x2 =  $\frac{2-\sqrt{17} }{2}$

x1,x2 son el conjunto de ceros, y conociendo los ceros y el vertice de la parabola se puede obtener el dominio de la función;

(-∞,  $\frac{2-\sqrt{17} }{2}$)U( $\frac{2-\sqrt{17} }{2}$, 1)U(1, $\frac{2+\sqrt{17} }{2}$)U($\frac{2+\sqrt{17} }{2}$, +∞)

Para hallar el conjunto de positividad de f(x) debes aplicar bolzano; usar un valor X que se halle dentro de cada intervalo por individual y resolver la ecuación, si el resultado trae simbolo positivo ese intervalo pertenece a los C+, si es negativo ese intervalo pertenece a los C-.