Question

50 PUNTOS !!! Resolver

Answer 1

¡Buenas!

Tema: Conjuntos

Considere el conjunto $\boldsymbol{Re} = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12\}$ y los conjuntos $\boldsymbol{A}$, $\boldsymbol{B}$ y $\boldsymbol{C}$ no vacios, tal que:

$\left( \boldsymbol{A}^{c} \cap \boldsymbol{B}^{c} \right) - \boldsymbol{C} = \{12\}$

$\left( \boldsymbol{A} \cup \boldsymbol{B} \right) - \boldsymbol{C} = \{2, 3, 4, 5, 8, 9\}$

Halle los elementos del conjunto $\boldsymbol{C}$

RESOLUCIÓN

Aplicaremos las propiedades de conjuntos para hallar el complemento del conjunto $\boldsymbol{C}$ y posteriormente los elementos de este mismo conjunto.

$\left( \boldsymbol{A}^{c} \cap \boldsymbol{B}^{c} \right) - \boldsymbol{C} \equiv \left( \boldsymbol{A} \cup \boldsymbol{B} \right)^{c} -\boldsymbol{C} \equiv \left( \boldsymbol{A} \cup \boldsymbol{B} \right)^{c} \cap \boldsymbol{C}^{c}$

$\left( \boldsymbol{A} \cup \boldsymbol{B} \right) - \boldsymbol{C} \equiv \left( \boldsymbol{A} \cup \boldsymbol{B} \right) \cap \boldsymbol{C}^{c}$

Unimos ambos conjuntos

$\{ \left( \boldsymbol{A} \cup \boldsymbol{B} \right) \cap \boldsymbol{C}^{c} \} \cup \{ \left( \boldsymbol{A} \cup \boldsymbol{B} \right)^{c} \cap \boldsymbol{C}^{c} \} = \{2, 3, 4, 5, 8, 9, 12\}$

$\{ \left(\boldsymbol{A} \cup \boldsymbol{B} \right) \cap \boldsymbol{C}^{c} \} \cup \{ \left( \boldsymbol{A} \cup \boldsymbol{B} \right)^{c} \cap \boldsymbol{C}^{c} \} \equiv$

$\{ \boldsymbol{C}^{c} \cap (\boldsymbol{A} \cup \boldsymbol{B})\} \cup \{ \boldsymbol{C}^{c} \cap (\boldsymbol{A} \cup \boldsymbol{B})^{c} \}$

$\{ \boldsymbol{C}^{c} \cap (\boldsymbol{A} \cup \boldsymbol{B}) \} \cup \{ (\boldsymbol{C}^{c} \cap (\boldsymbol{A} \cup \boldsymbol{B})^{c}\} \equiv$

$\boldsymbol{C}^{c} \cap \{ \left( \boldsymbol{A} \cup \boldsymbol{B} \right) \cup \left( \boldsymbol{A} \cup \boldsymbol{B} \right)^{c} \}$

$\boldsymbol{C}^{c} \cap \{ \left( \boldsymbol{A} \cup \boldsymbol{B} \right) \cup \left( \boldsymbol{A} \cup \boldsymbol{B} \right)^{c} \} \equiv \boldsymbol{C}^{c} \cap \boldsymbol{Re} \equiv \boldsymbol{C}^{c}$

$\boldsymbol{C}^{c} = \{2, 3, 4, 5, 8, 9, 12\} \to\ \boldsymbol{C} = \{1, 6, 7, 10, 11\}$

Notemos que no hemos usado los demás datos para hallar los elementos del conjunto $\boldsymbol{C}$, pero podemos aprovechar el resto de datos para esbozar todos los conjuntos con sus respectivos elementos.

RESPUESTA

$\boxed{ \boldsymbol{C} = \{1, 6, 7, 10, 11\} }$