Question

50 puntos. Alguien me ayuda? Gracias de antemano! ​

Answer 1

Tarea:

Sea la función $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R} ,f(x)=2^{x}-(\frac{1}{3})^{x}$

a) Calcula f'(x)

b) Calcula $\displaystyle\lim_{x \to 0}{\frac{f(x)-f(0)}{x}}$

c) Monotonía de la función de R

Respuesta:

 a) $f'(x)=2^{x}*\ln(2)-(\frac{1}{3})^{x}*\ln(\frac{1}{3})$

 b) Ln(2)-Ln(1/3)

 c) (-∞ , 0) → decreciente   (0 , +∞) → creciente

Explicación paso a paso:

a) Paca calcular la derivada conviene escribir la función en una forma equivalente:

$f(x)=2^{x}-(\frac{1}{3})^{x}=e^{\ln2^{x}}- e^{\ln(\frac{1}{3})^{x}} = e^{x* \ln(2)}-e^{x*\ln(\frac{1}{3})}$

Así podemos derivar aplicando la regla de la cadena sabiendo que la función externa es e^u y la interna lo que está dentro de los exponentes.

$f'(x)=(e^{u})'*(x*\ln(2))'-(e^{u})'*(x*\ln(\frac{1}{3}))'$

Sabemos que la derivada de e^u es e^u, entonces queda igual, y que los logaritmos salen como constantes, luego (x)'=1 entonces:

$f'(x)=e^{u}*\ln(2)(x)'-e^{u}*\ln(\frac{1}{3})(x)'=e^{u}*\ln(2)-e^{u}*\ln(\frac{1}{3})$

Volviendo en la pseudo sustitución que aplicamos anteriormente:

$f'(x)=e^{x*\ln(2)}*\ln(2)-e^{x*\ln(\frac{1}{3})}*\ln(\frac{1}{3})$

La función exponencial y el logaritmo se cancelan y finalmente queda:

$f'(x)=2^{x}*\ln(2)-(\frac{1}{3})^{x}*\ln(\frac{1}{3})$

b) Es fácil ver que f(0) = 0, entonces la evaluación del límite resultará en una indeterminación de tipo 0/0 lo que podemos evitar aplicando regla de L'Hopital. Ya conocemos la derivada de f(x), la derivada de f(0) seguirá siendo 0 y la derivada de x es 1, entonces:

$\displaystyle\lim_{x \to 0}{\dfrac{2^{x}*\ln(2)-(\frac{1}{3})^{x}*\ln(\frac{1}{3})-0}{1}}=2^{0}*\ln(2)-(\frac{1}{3})^{0}*\ln(\frac{1}{3})=\ln(2)-\ln(\frac{1}{3})$

c) Basándonos en los valores que toma la gráfica podemos notar que de -∞ a 0 es decreciente y de 0 a +∞ es creciente (adjunto gráfica).

Answer 2

Respuesta:

gracias cracki por los puntos pero yo busque 50 PUNTOS QLIAO 53 NOMA CHEEMS ESTA FURIOSO POR ESTA GRAN ESTAFA, SON 50 PUNTOS NO 53 AMIGO, CHEEMS ESTA MO0LESTO

Explicación paso a paso: