Question

50. Pruebe que la distancia más corta entre un punto y una recta se mide por una línea que pasa por el punto y es perpendicular a la recta

Answer 1

Respuesta:

Distancia de un punto a una recta

representación gráfica de la distancia de un punto a una recta

d(P,r)=\left | \overline{PM} \right |

d(P,r)=\cfrac{\left | A\cdot p_{1}+B\cdot p_{2} \right+C |}{\sqrt{A^{2}+B^{2}}}

Ejemplo

Calcula la distancia del punto P(2,-1) a la recta r de ecuación 3x+4y=0.

d(P,r)=\cfrac{\left | 3\cdot 2+4\cdot (-1) \right |}{\sqrt{3^{2}+4^{2}}}=\cfrac{2}{5}

Distancia al origen de coordenadas

d(O,r)=\cfrac{\left | C \right |}{\sqrt{A^{2}+B^{2}}}

Ejemplo

Hallar la distancia al origen de la recta r\equiv 3x-4y-25=0

.

d(O,r)=\cfrac{\left | -25 \right |}{\sqrt{3^{2}-(-4)^{2}}}=\cfrac{25}{5}=5

Distancia entre rectas

representación gráfica de distancia entre dos rectas

Para hallar la distancia entre dos en rectas paralelas, se toma un punto cualquiera, P, de una de ellas y calcular su distancia a la otra recta.

d(r,s)=d(P,s)

Ejemplos

1 Hallar la distancia entre r\equiv 3x-4y+4=0 y s\equiv 9x-12y-4=0.

Primero comparamos las pendientes para verificar que sean paralelas

\cfrac{3}{-4}=\cfrac{9}{-12}\; \; \; -36=-36\; \; \; \Rightarrow \; \; \; r\parallel s

Buscamos un punto para alguna de las rectas

3\cdot 0-4y+4=0\; \; \; \; \; y=1

P(0,1)\; \epsilon \; r

Sustituimos en la fórmula de distancia de un punto a una recta

d(P,s)=\cfrac{\left | 9\cdot 0 -12\cdot 1-4\right |}{\sqrt{9^{2}+12^{2}}}=\cfrac{16}{15}

2 Hallar la distancia entre las rectas:

r\equiv \left\{\begin{matrix} x=2-3k\\ y=1+k \end{matrix}\right. s\equiv \cfrac{x+3}{-3}=\cfrac{y+5}{1}

r\equiv x+3y-5=0 s\equiv x+3y+18=0

d(r,s)=\cfrac{18+5}{\sqrt{1^{2}+3^{2}}}=\cfrac{23}{\sqrt{10}}