Question

5-. Utilizando la definición de límite la derivada de la siguiente función:
F(x) = 4 - x 3 - 2 x 4

Answer 1

Hola, aquí va la respuesta

             Derivada de una función

"Definimos la derivada de una función "f" en el punto de abcisa x= a, que denotaremos f'(a) como:"

                $f'(a)= f'(x)= \lim_{h \to0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}$

Veamos el ejercicio, tenemos la función:

f(x)= -2x⁴ - x³ + 4

Calculemos f(x+h) primero:

$f(x+h)=-2(x+h)^{4} -(x+h)^{3} +4$

$f(x+h)= -2(x^{4} +4hx^{3}+6h^{2}x^{2} +4h^{3} x+h^{4} )-(x^{3} +3hx^{2} +3h^{2}x+h^{3} )+4$

$f(x+h)=( -2x^{4} -8hx^{3} -12h^{2}x^{2} -8h^{3}x-2h^{4} ) -x^{3} -3hx^{2} -3h^{2}x-h^{3}+4$

Reemplazando en el límite, nos queda:

$\lim_{h\to 0 \frac{-2x^{4}-8hx^{3}-12h^{2} x^{2} -8h^{3}x-2h^{4} -x^{3} -3hx^{2} -3h^{2}x-h^{3}+4 +( -4+x^{3} +2x^{4} ) }{h}$

$\lim_{h \to 0} \frac{-8hx^{3}-12h^{2}x^{2} -8h^{3}x-2h^{4}-3hx^{2} -3h^{2}x-h^{3} }{h}$

Factorizamos el "h"

$\lim_{h \to 0} \frac{h*(-8x^{3}-12hx^{2} -8h^{2}x-2h^{3}-3x^{2} -3hx-h^{2}) }{h}$

$\lim_{h \to 0} (-8x^{3}-12hx^{2} -8h^{2}x-2h^{3}-3x^{2} -3hx-h^{2})$

Evalúamos:

$-8x^{3} -12(0)x^{2} -8(0)^{2}x-2(0)^{3} -3x^{2} -3(0)x-(0)^{2}$

$-8x^{3} -3x^{2}$    Solución

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Saludoss