Question

5. Un hombre se encuentra en un edificio observando otro edificio que está a 100 m de distancia. El ángulo
de elevación al tope del edificio es de 30º y el ángulo de depresión a la base es de 15°, ¿cuál es la altura
del edificio que observa? Desprecia la altura del hombre.​

Answer 1

La altura del Edificio B es de 84.53 metros

Se trata de un problema de razones trigonométricas en triángulos rectángulos.

Las razones trigonométricas de un ángulo α son las razones obtenidas entre los tres lados de un triángulo rectángulo.  

Dado que una persona desde la parte superior de un edificio observa la parte inferior de otro edificio con un ángulo de depresión de 15° y la parte superior del mismo con un ángulo de elevación de 30°:

Llamando al edificio donde se encuentra el observador "Edificio A" y al otro edificio- "Edificio B"-

Representamos la situación en dos triángulos rectángulos:

El ABD: en donde el lado AB representa la línea visual -que está por debajo de los ojos del observador- a la parte inferior del Edificio B-, con un ángulo de depresión de 15°, el lado DB que es una porción del Edificio B y a la vez coincide con la altura del primer edificio - el Edificio A - en donde se halla la persona observadora, siendo el cateto opuesto al ángulo dado de este triángulo, de la cual no conocemos su magnitud a la que llamaremos altura “x”-;  y por último el lado AD que es la línea horizontal de visión al Edificio B y también la distancia horizontal hasta este, en donde este otro cateto- es en este caso el adyacente-, del cual conocemos su valor

El triángulo ACD: en donde el lado AC representa la línea visual -que está por encima de los ojos del observador- a la parte superior del Edificio B-, con un ángulo de elevación de 30°; el lado CD que es el cateto opuesto al ángulo dado en este triángulo y que equivale a la otra porción de la altura del Edificio B -de la cual no conocemos su dimensión y la llamaremos altura "y"-;  teniendo finalmente el lado AD el cual es el cateto adyacente al ángulo, y coincide con el cateto adyacente del primer triángulo, siendo la distancia horizontal del Edificio A hasta el Edificio B

Donde se pide hallar la altura "h" del otro edificio al que llamamos B

Donde halladas las dos alturas “x” e “y” - donde ambas longitudes son los catetos opuestos de cada uno de los triángulos rectángulos-

La sumatoria de los dos catetos opuestos a los ángulos dados de cada uno de los dos triángulos nos dará la altura "h" del Edificio B

Dado que la tangente de un ángulo se define como la razón entre el cateto opuesto y el cateto adyacente:

Se empleará la razón trigonométrica tangente en cada uno de los dos triángulos rectángulos para determinar las alturas "x" e "y"

En el triángulo ABD

Hallamos la altura x – altura del Edificio A- que coincide con una porción de la altura del Edificio B-

Por ser ángulo alterno interno- que es homólogo- se traslada el ángulo de depresión de 15° al punto B para facilitar la situación

Por ello se han trazado dos proyecciones horizontales

Relacionamos los datos con la tangente del ángulo α  $\bold{\alpha = 15^o }$

$\boxed{\bold { tan(15^o) = \frac{ cateto\ opuesto }{ cateto\ adyacente } } }$

$\boxed{\bold { tan(15^o)= \frac{ altura \ x }{ distancia\ edificios } } }$

$\boxed{\bold { altura\ x = distancia \ edificios\ . \ tan(15^o) } }$

$\boxed{\bold { altura\ x =100 \ metros \ . \ tan(15^o) } }$

$\boxed{\bold { altura\ x =100 \ metros\ . \ 0.267949192431 } }$

$\large\boxed{\bold { altura\ x =26.79 \ metros } }$

Luego la altura x es de 26.79 metros, siendo la altura del Edificio A -que coincide con una porción de la altura del Edificio B-

En el triángulo ACD

Hallamos la altura y - segunda porción de la altura del Edificio B -

Relacionamos los datos con la tangente del ángulo β  $\bold{\beta = 30^o }$

$\boxed{\bold { tan(30^o) = \frac{ cateto\ opuesto }{ cateto\ adyacente } } }$

$\boxed{\bold { tan(30^o) = \frac{ altura \ y }{distancia \ edificios } } }$

$\boxed{\bold { altura\ y =distancia \ edificios \ . \ tan(30^o) } }$

Como tenemos un ángulo notable

$\large \textsf{El valor exacto de tan de 30 grados es } \bold {\frac{ \sqrt{3} } {3 } }$

$\boxed{\bold { altura\ y =distancia \ edificios\ . \ \frac{\sqrt{3} }{3} } }$

$\boxed{\bold { altura\ y =100\ m\ . \ \frac{\sqrt{3} }{3} } }$

$\boxed{\bold { altura\ y = \frac{100\sqrt{3} }{3} \ m } }$

$\large\boxed{\bold { altura\ y =57.74\ metros } }$

Por tanto la altura y es de 57.74 metros, siendo la otra parte de la altura del Edificio B

Hallamos la altura h del Edificio B

$\boxed{\bold { Altura \ del \ Edificio \ B \ (h) = altura \ x\ +\ altura \ y } }$

$\boxed{\bold { Altura \ del \ Edificio \ B \ (h)= 26.79 \ m +\ 57.74 \ m } }$

$\large\boxed{\bold { Altura \ del \ Edificio \ B \ (h) =84.53\ metros } }$

La altura del Edificio B es de 84.53 metros

Se agrega gráfico a escala para mejor comprensión del ejercicio propuesto