Question

5. Un contenedor que transporta agua, como se muestra en la figura, está compuesto de un cilindro y una semiesfera unida a uno de sus costados. El volumen del contenedor es de 48 m³, pero el costo por metro cuadrado de construir la semiesfera es el doble que el del construir el área lateral. Si se sabe que el costo por metro cuadrado de la parte lateral y de la base es de 120 dólares, determina las dimensiones del cilindro de tal forma que el costo sea el mínimo.

Answer 1

Para que el costo sea mínimo, el cilindro tiene que tener 4,82 metros de altura y 1,81 metros de radio.

Explicación:

Si el costo de construir el área lateral y la base es de 120 dólares por metro cuadrado, el costo de la semiesfera es de 240 dólares por metro cuadrado. El costo de construir el contenedor es:

$C=120(\pi.r^2+2\pi.r.h)+240.2\pi.r^2\\\\C=600\pi.r^2+240\pi.rh$

Y el volumen del contenedor es:

$V=\pi.r^2.h+\frac{2}{3}\pi.r^3\\\\h=\frac{V-\frac{2}{3}\pi.r^3}{\pi.r^2}$

Reemplazando la expresión de la altura en la del costo queda:

$C=600\pi.r^2+240\pi.r.\frac{V-\frac{2}{3}\pi.r^3}{\pi.r^2}\\\\C=600\pi.r^2+240\frac{V-\frac{2}{3}\pi.r^3}{r}\\\\C=\frac{600\pi.r^3+240V-160\pi.r^3}{r}=\frac{440\pi.r^3+240V}{r}$

Para calcular el radio que minimiza el costo tenemos que derivar la expresión e igualar la derivada a cero:

$\frac{dC}{dR}=\frac{1320\pi.r^2.r-(440\pi.r^3+240V)}{r^2}\\\\1320\pi.r^2.r-(440\pi.r^3+240V)=0\\880\pi.r^3-240V=0\\\\r=\sqrt[3]{\frac{240V}{880\pi}}=\sqrt[3]{\frac{240.48m^3}{880\pi}}\\\\r=1,61m$

Y la altura del contenedor es:

$h=\frac{V-\frac{2}{3}\pi.r^3}{\pi.r^2}=\frac{48m^3-\frac{2}{3}\pi.(1,61m)^3}{\pi.(1,61m)^2}\\\\h=4,82m$

Answer 2

El contenedor que transporta agua compuesto de un cilindro y una semiesfera unida a uno de sus costados tiene un costo mínimo de construcción si sus dimensiones son, aproximadamente,  1.61  metros de radio y  4.83  metros de altura.

¿Cómo se minimiza una función?

Los valores máximos y mínimos de una función se obtienen usando los criterios de primera y segunda derivada para extremos relativos.

Primero, hallamos los puntos críticos de la función. Esto es derivar la función e igualar a cero. Los puntos que satisfacen esta ecuación son los puntos críticos de la función.

Segundo, hallamos la derivada de segundo orden que nos permitirá decidir si los puntos críticos son máximos, segunda derivada negativa, o un mínimos, segunda derivada positiva.

Tercero, evaluamos la segunda derivada en cada punto crítico y aplicamos el criterio de decisión correspondiente.

En el caso estudio, la función objetivo es el costo  C  de material de construcción, que se obtiene con el área superficial  A  del contenedor.

Si llamamos  h  la altura de la porción cilíndrica y  r  el radio de esta porción y de la semiesfera; la función objetivo viene dada por la suma de los costos de las áreas del contorno, la cara lateral circular y la cara lateral semiesférica:

Datos:

• Costo por m² de la parte lateral y la base es de  120  dólares
• Costo por m² de la semiesfera es de  2 × 120  =  240  dólares
• Volumen total  =  V  =  48  m³

$\bold{C~=~(120)\cdot(2\pi rh+\pi r^{2})~+~(240)\cdot(2\pi r^{2})~=~240\pi rh~+~600\pi r^{2}}$

Lo conveniente es que el costo esté expresado solo en función del radio, por lo que usaremos el volumen conocido (ecuación auxiliar) para despejar h en función de r:

$\bold{V~=~48~=~\pi r^{2}h~+~\dfrac{2}{3}\pi r^{3}\qquad \Rightarrow\qquad h~=~\dfrac{48}{\pi r^{2}}~-~\dfrac{2}{3} r}$

por tanto la función objetivo es

$\bold{C~=~240\pi r(\dfrac{48}{\pi r^{2}}~-~\dfrac{2}{3} r)~+~600\pi r^{2}\qquad \Rightarrow\qquad C~=~\dfrac{11520}{r}~+~440\pi r^{2}}$

Primero, hallamos los puntos críticos de la función.

$\bold{C'~=~-\dfrac{11520}{r^2}~+~880\pi r}$

$\bold{C'~=~0\qquad\Rightarrow\qquad-\dfrac{11520}{r^2}~+~880\pi r~=~0\qquad\Rightarrow\qquad r~=~\sqrt[3]{\dfrac{144}{11\pi}}}$

Este es el punto crítico o posible extremo de la función.

Segundo, hallamos la derivada de segundo orden

$\bold{C''~=~\dfrac{23040}{r^3}~+~880\pi}$

Tercero, evaluamos la segunda derivada

$\bold{C''(\sqrt[3]{\dfrac{144}{11\pi}})~=~\dfrac{23040}{(\sqrt[3]{\dfrac{144}{11\pi}})^3}~+~880\pi~ > ~0\qquad\Rightarrow\qquad r~=~\sqrt[3]{\dfrac{144}{11\pi}}~\approx~1.61~m}$

es un mínimo de la función  C.

De aquí        $\bold{h~=~\dfrac{48}{\pi ( \sqrt[3]{\dfrac{144}{11\pi}}){2}}~-~\dfrac{2}{3}( \sqrt[3]{\dfrac{144}{11\pi}})~=~\dfrac{432}{11\pi ( \sqrt[3]{\dfrac{144}{11\pi}}){2}}~\approx~4.83~m}$

El contenedor de costo mínimo de construcción tiene, aproximadamente,  1.61  metros de radio y  4.83  metros de altura.

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