Question

5. Tres números forman una progresión aritmética y otros tres, una progresión geométrica. Sumando los términos correspondientes de las dos progresiones se obtiene 85, 76 y 84 respectivamente; sumando los tres términos de la progresión aritmética se obtiene 126. Encontrar los términos de las dos progresiones.

Answer 1

Los elementos de la progresión aritmética son 16, 42 y 68, mientras que los elementos de la progresión geométrica son 17, 34 y 68.

¿Cómo hallar los elementos de la progresión aritmética y de la progresión geométrica?

Cuando tenemos una progresión aritmética, la diferencia entre cada elemento y su anterior es siempre un valor fijo que llamamos razón de la sucesión. Así, si la suma entre los tres términos de la progresión aritmética es 126 tenemos:

$a_0=a_0\\a_1=a_0+s\\a_2=a_0+2s\\\\a_0+a_1+a_2=a_0+a_0+s+a_0+2s=126\\\\3a_0+3s=126$

De aquí podemos despejar el segundo término de la progresión aritmética:

$3(a_0+s)=126\\a_0+s=42$

Y además tenemos $a_0+a_2=126-42=84$

En cuanto a la progresión geométrica, cada término es igual a su anterior multiplicado por la razón de la sucesión, por lo que tenemos:

$b_0=b_0\\b_1=b_0.r\\b_2=b_0.r^2$

De aquí podemos despejar el segundo término:

$b_1+a_1=76\\b_1=76-a_1=76-42=34$

En cuanto a los otros dos tenemos:

$b_0+a_0=85\\b_2+a_2=84\\\\b_0+b_2+a_0+a_2=85+84\\b_0+b_2+84=85+84\\b_0+b_2=85$

Si la progresión geométrica es de números enteros, la única posibilidad es a0=17 y a2=68, siendo la razón de la progresión igual a 2. Entonces, los otros dos términos de la progresión aritmética quedan:

$17+a_0=85= > a_0=68\\68+a_2=84= > a_2=16$

Aprende más sobre las progresiones aritméticas y geométricas en https://brainly.lat/tarea/41481442

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