5 personas se van de vacaciones en un automóvil de 5 asientos,todos saben Conducir
luego de las vacaciones 3 personas se enferman y no pueden conducir de vuelta ¿de cuántas maneras distintas puede sentarse?
Respuestas a la pregunta
Respuesta:
Antes de vacaciones: 120.
Después de vacaciones: 48.
Explicación:
Antes de las vacaciones
Sean A={S1,S2,S3,S4,S5} el conjunto de las cinco personas que menciona el enunciado del problema y sea
B={P1,P2,P3,P4,C} el conjunto de los asientos, con C el del conductor, para hallar el número de maneras distintas en que pueden sentarse, basta con hallar el número de funciones biyectivas de A en B, ya que en tal caso cada función biyectiva representa una manera distinta en que a cada asiento le corresponde una y una sola persona y a cada persona uno y un solo asiento, esto es, una manera en que pueden sentarse. Pero, el el número de funciones biyectivas de A en B, es 5!=120. Por lo tanto, el número de maneras distintas puede sentarse es 120.
Después de las vacaciones:
Sean A={E1,E2,E3,S1,S2}, B={P1,P2,P3,P4,C}. Donde, {E1,E2,E3} es el conjunto de las personas enfermas, {S1,S2} es el conjunto de las personas sanas, {P1,P2,P3,P4}, es el conjunto de asientos que no son del conductor y C es el asiento del conductor.
Se trata es de hallar todas las funciones biyectivas de A en B, f, tales que si x está en {E1,E2,E3}, f(x) es distinto a C. Ya que en tal caso cada función biyectiva representa una manera distinta en que a cada asiento le corresponde una y una sola persona y a cada persona uno y un solo asiento sin que sea posible que un enfermo vaya de conductor, esto es, una manera en que pueden sentarse sin que un conductor conduzca. Ahora bien solo hay dos posibilidades a S1 se le hace corresponder C o a S1 no se le hace corresponder C. Sea que a S1 se le hace corresponder C, entonces, para hallar el número de biyecciones de A en B, tales que si x está en {E1,E2,E3}, f(x) es distinto a C, basta con hallar el número de biyecciones entre los conjuntos {E1,E2,E3,S2} y {P1,P2,P3,P4}. Pero, el número de biyecciones entre los conjuntos {E1,E2,E3,S2} y {P1,P2,P3,P4} es 4!=24. De otra parte, sea que a S1 no se le hace corresponder C y como a algún elemento de {E1,E2,E3,S1,S2} se le hace corresponder C y se ha establecido que ni a E1, ni a E2, ni a E3, ni a S1, de le hace corresponder C, entonces a S2 le corresponde C, luego para hallar el número de biyecciones de A en B, tales que si x está en {E1,E2,E3}, f(x) es distinto a C, basta con hallar el número de biyecciones entre los conjuntos {E1,E2,E3,S1} y {P1,P2,P3,P4}. Pero, el número de biyecciones entre los conjuntos {E1,E2,E3,S1} y {P1,P2,P3,P4} es 4!=24.
Como el número total de funciones biyectivas de A en B, f, tales que si x está en {E1,E2,E3}, f(x) es distinto a C. Es igual a la suma del número de funciones biyectivas de A en B, f, tales que si x está en {E1,E2,E3}, f(x) es distinto a C en el caso de que a S1 le corresponda C más el número de funciones biyectivas de A en B, f, tales que si x está en {E1,E2,E3}, f(x) es distinto a C en el caso de que a S1 no le corresponda C. Entonces, el el número total de funciones biyectivas de A en B, f, tales que si x está en {E1,E2,E3}, f(x) es distinto a C es 2•24=48. Así, pues, luego de las vacaciones cuando 3 personas se enferman y no pueden conducir de vuelta el número de maneras distintas puede sentarse es 48.