Question

5) Para la siguiente gráfica determine:

a) Dominio y recorrido
b) Monotonía
c) Utilizando el discriminante determine cuantas raíces tiene la función.
d) Encuentre las raíces.
e) Indique si la función tiene un valor máximo o un valor mínimo
f) Indique la paridad de la función.
g) La ecuación cuadrática que representa la gráfica

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Answer 1

Para hallar los datos de la parábola de la imagen debemos analizar el gráfico y entender cada concepto.

a) En cuanto al dominio, la función está graficada entre x=-1 y x=3, lo que lleva a interpretar que está definida solo en ese intervalo, el cual sería su dominio, en cuanto a su recorrido o imagen, que es el conjunto de valores que la función puede tomar, vemos que está entre 0 y 4 por lo que el dominio y la imagen son:

D=[-1;3]; Im=[0;4]

b) La función es creciente hasta el vértice el cual está en x=-1, momento en el cual comienza a ser decreciente, lo que nos permite identificar dos intervalos de monotonía. Tales intervalos se definen como aquellos donde la función mantiene la misma tendencia y concavidad. Entonces los intervalos de monotonía son [-1;1] y [1;3].

c) No conocemos la ecuación de la parábola para obtener el discriminante pero en el gráfico se distinguen dos raíces.

d) En el gráfico las raíces están en x=-1 y x=3 son los puntos donde la función toca al eje de abscisas.

e) La función tiene un valor máximo que es x=4, en la gráfica no se observan valores mínimos y de hecho cuando encontremos la ecuación veremos que no tiene mínimos.

f) La función es par si tiene simetría axial respecto del eje de ordenadas es decir es f(x)=f(-x), o es impar si tiene simetría central respecto del origen, es decir es f(x)=-f(-x), aquí tenemos que la función bajo estudio no cumple ninguna de las dos condiciones, por lo que no tiene paridad.

g) Tenemos que la función es una parábola cóncava hacia abajo (lo que implica que el término cuadrático es negativo), y que sus raíces son x=-1 y x=3, por lo que esperamos que sea de la forma:

$f(x)=-(x+1)(x-3)$

Desarrollándola tenemos:

$f(x)=-(x+1)(x-3)=-(x^2-2x-3)=-x^2+2x+3$

tenemos que en x=0 tiene que valer 3,

$-0^2+2.0+3=3$

Y su vértice ser (1,4):

$X_v=\frac{-b}{2a}=\frac{-2}{-2}=1\\-1^2+2.1+3=4$

Con lo que la ecuación de la función bajo estudio es $f(x)=-x^2+2x+3$