Question

5. Las diagonales de un paralelogramo miden 5 y 6 cm., respectivamente y se cortan bajo un ángulo de 50°. Hallar el perímetro del paralelogramo.
6. Desde un punto se observan unos chopos con un ángulo de 36°, si avanzamos hacia ellos en línea recta y los volvemos a observar el ángulo es de 50°. ¿Qué altura tienen los chopos?
7. Tres puntos A, B y C están unidos por carreteras rectas y llanas. La distancia AB es de 6 Km., la BC es 9 Km. y el ángulo que forman AB y BC es de 120°. ¿Cuánto distan A y C?.
8. Un carpintero debe hacer una mesa triangular de tal forma que un lado mida 2 m, otro 1.5 m y el ángulo opuesto al primer lado debe ser 40°. ¿Lo conseguirá? ___ Explica
9. Dos personas caminan por un sendero, pero en un punto se bifurca formando un ángulo de 38° y cada uno va por su lado, uno camina a 3 km/h y el otro a 3.5 km/h, ¿a qué distancia se encuentran al cabo de media hora?
10. Desde los puntos A y B de una misma orilla de un río y separados entre si 12 m., se observan el pie P y la copa C de un pino, situado en la orilla opuesta. Calcular la altura del pino, sabiendo que los ángulos miden PAB=42°, PBA=37° y PAC=50°

NOTA: CONSTRUYE TODOS LOS TRIÁNGULOS CON MEDIDAS REALES

Answer 1

5) Las diagonales de un paralelogramo miden 5 y 6 cm., respectivamente y se cortan bajo un ángulo de 50°. Hallar el perímetro del paralelogramo.  

6) Desde un punto se observan unos chopos con un ángulo de 36°, si avanzamos hacia ellos en línea recta y los volvemos a observar el ángulo es de 50°. ¿Qué altura tienen los chopos?  

7) Tres puntos A, B y C están unidos por carreteras rectas y llanas. La distancia AB es de 6 Km., la BC es 9 Km. y el ángulo que forman AB y BC es de 120°. ¿Cuánto distan A y C?.  

8) Un carpintero debe hacer una mesa triangular de tal forma que un lado mida 2 m, otro 1.5 m y el ángulo opuesto al primer lado debe ser 40°. ¿Lo conseguirá? ___ Explica  

9)  Dos personas caminan por un sendero, pero en un punto se bifurca formando un ángulo de 38° y cada uno va por su lado, uno camina a 3 km/h y el otro a 3.5 km/h, ¿a qué distancia se encuentran al cabo de media hora?  

10) Desde los puntos A y B de una misma orilla de un río y separados entre si 12 m, se observan el pie P y la copa C de un pino, situado en la orilla opuesta. Calcular la altura del pino, sabiendo que los ángulos miden PAB = 42°, PBA = 37° y PAC = 50°

Hola!!!  

5)  

Construimos el Paralelogramo con los datos que nos proporcionan (ver archivo adjunto)  

Sabemos las medidas de las Diagonales, por lo tanto podemos calcular la mitad de cada una de ellas. Hecho esto obtenemos 4 Triángulos (dos a dos) en donde conocemos 2 lados y el ángulo comprendido ⇒ podremos usar LEY DE COSENOS:  

a² = b² + c² -2×b×c×CosA

Sabemos que el ∡ entre ellas es 50° ⇒ Suplementarios = 180° - 50° = 130°  

Triangulo 1  

Lado 1 = 2,5 cm  

Lado 2 = 3 cm  

∡ comprendido = 50°  

a² = 2,5² + 3² -2×2,5×3×Cos50°  

a² = 5,608  

a = √5,608  

a = 2,37

Triangulo 2  

Lado 1 = 2,5 cm  

Lado 2 = 3 cm  

∡ comprendido = 130°  

b² = 2,5² + 3² -2×2,5×3×Cos130°  

b² = 24,89  

b = √20,89  

b = 4,99

Perímetro del Paralelogramo:  

P = 2a + 2b  

P = 2×2,37 + 2×4,99  

P = 14,72 cm  

6)  

Para resolver este ejercicio necesitamos saber cuando es la distancia que avanza hacia los chopos, suponemos 10 m.

En Δ ABC:  

c = 10m ∡A = 36° ∡C = 14°

LEY DE SENOS: a/SenA = b/SenB = c/SenC

c/SenC = a/SenA

10/Sen14° = a/Sen36°

10 Sen36° = a × Sen14°

a = 10 Sen36°/Sen14°

a = 24,3

En Δ BCD:

a = 23,4 m

∡B = 50°

Senα = Cateto Opuesto/Hipotenusa

Sen50° = H/24,3  

H = 24,3 × Sen50°

H = 18,6 m Altura de los chopos

7)

AB = 6 Km

BC = 9 Km

∡B = 120°

Tenemos 2 lados y el ángulo comprendido, por lo tanto estamos en condiciones de aplicar LEY DE COSENOS:

b² = a² + c² -2×a×c×CosB

b² = 9² + 6² -2×9×6×Cos120°

b² = 171

b = √171

b = 13 ⇒

Distancia entre A y C: AC = 13 Km

8)

Aplicamos LEY DE SENOS:

a/SenA = b/SenB = c/SenC

2/Sen40° = 1,5/Senα ⇒

2×Senα = 1,5×Sen40°

Senα = 0,482 ⇒

Sen⁻¹ 0,482 = α

α = 28,8°

α + 40° + β = 180° Propiedad triángulos

β = 111,2°

b/SeN111,2° = 2/Sen40° ⇒

b = 2,9 m

Es posible confeccionar la mesa si los ángulos internos del Triangulo son α = 28,8° ; β = 111,2° y el Lado restante medirá 2,9 m

9)

Usaremos la Ecuación del Movimiento Rectilíneo Uniforme (M.R.U):

Distancia = Velocidad × Tiempo

d = V × t

t = 1/2 h = 0,5 h

V₁ = 3 Km/h ⇒  

d₁ = 3 Km/h × 0,5 h ⇒ d₁ = 1,5 Km

V₂ = 3,5 Km/h

d₂ = 3,5 Km/h × 0,5 h ⇒ d₂ = 1,75 Km

Tenemos 2 lados y el ángulo comprendido, usamos LEY DE COSENOS:

x² = 1,75² + 1,5² -2×1,75×1,5×Cos38°

x² = 1,175

x = √√1,175

x = 1,08 Km     Distancia entre ellos

10)

Realizamos un esquema grafico (ver archivo adjunto)

En Δ ABP:

α + 42°+ 37° = 180°

α = 101°

LEY DE SENOS:

12/Sen101° = x/Sen37°

x = 7,36

En Δ ACP Rectángulo:

TangФ = Cateto Opuesto /Cateto Adyacente

Tang50° = H/7,36

H = 8,77 m  Altura del Pino

Dejo 5 archivos con los esquemas gráficos y con el desarrollo de los cálculos.

Saludos!!!