Question

5. Halle el valor de sen(x + 20°) si
sen(5x + 20°) · csc(2x + 50°) = 1
ayudame porfa resolucion

Answer 1

Respuesta:

Explicación paso a paso:

Answer 2

Explicación paso a paso:

$\sin(5x + 20\textordmasculine) \cdot \csc(2x + 50\textordmasculine) = 1$

Simplificamos ecuación:

$\sin(5x + 20\textordmasculine) \cdot \frac{1}{\sin(2x + 50\textordmasculine)} = 1$

$\frac{\sin(5x + 20\textordmasculine)}{\sin(2x + 50\textordmasculine)} = 1$

$\frac{\sin(5x + 20\textordmasculine)}{\sin(2x + 50\textordmasculine)} -1=0$

$\frac{\sin(5x + 20\textordmasculine)-\sin(2x + 50\textordmasculine)}{\sin(2x + 50\textordmasculine)}=0$

$\sin(5x + 20\textordmasculine)-\sin(2x + 50\textordmasculine)=0$

Redefinimos utilizando identidades trigonométricas:

Identidad a usar: $\sin(u)-\sin(v)=2\sin(\frac{u-v}{2} )\cos(\frac{u+v}{2} )$

$\sin(5x + 20\textordmasculine)-\sin(2x + 50\textordmasculine)=2\sin[\frac{5x + 20\textordmasculine-(2x + 50\textordmasculine)}{2} ]\cos(\frac{5x + 20\textordmasculine+2x + 50\textordmasculine}{2} )$

$\sin(5x + 20\textordmasculine)-\sin(2x + 50\textordmasculine)=2\sin(\frac{3x -30\textordmasculine}{2} )\cos(\frac{7x + 70\textordmasculine}{2} )$

Por lo que, obtenemos:

$2\sin(\frac{3x -30\textordmasculine}{2} )\cos(\frac{7x + 70\textordmasculine}{2} )=0$

Podemos resolver la ecuación evaluando cada factor, mencionar que el coeficiente 2 no afecta los valores de las razones trigonométricas, por lo que únicamente se evalúan las razones:

Función seno

$\sin(\frac{3x -30\textordmasculine}{2} )=0$

Al tratarse de la función seno, se sabe que toma valores de cero en

$0+360\textordmasculine \cdot n \: \: \: \wedge \: \: \: 180\textordmasculine+360\textordmasculine \cdot n$

Por lo que se debe resolver en cada igualdad:

$\frac{3x -30\textordmasculine}{2} =0\textordmasculine +360\textordmasculine \cdot n\\\frac{3x -30\textordmasculine}{2} =360\textordmasculine \cdot n\\3x -30\textordmasculine =720\textordmasculine \cdot n\\3x =720\textordmasculine \cdot n +30\textordmasculine\\x =\frac{720\textordmasculine \cdot n +30\textordmasculine}{3} \\x =240\textordmasculine \cdot n +10\textordmasculine$

$\frac{3x -30\textordmasculine}{2} =180\textordmasculine+360\textordmasculine \cdot n\\3x -30\textordmasculine =360\textordmasculine+720\textordmasculine \cdot n\\3x =360\textordmasculine+720\textordmasculine \cdot n +30\textordmasculine\\3x =390\textordmasculine+720\textordmasculine \cdot n \\x =\frac{390\textordmasculine+720\textordmasculine \cdot n}{3} \\x =130\textordmasculine+240\textordmasculine \cdot n$

Función coseno

$\cos(\frac{7x + 70\textordmasculine}{2} )=0$

Al tratarse de la función coseno, se sabe que toma valores de cero en

$90\textordmasculine+360\textordmasculine \cdot n \: \: \: \wedge \: \: \: 270\textordmasculine+360\textordmasculine \cdot n$

Se resuelve para cada igualdad:

$\frac{7x + 70\textordmasculine}{2} =90\textordmasculine+360\textordmasculine \cdot n\\7x + 70\textordmasculine = 180\textordmasculine+720\textordmasculine \cdot n\\7x = 180\textordmasculine+720\textordmasculine \cdot n - 70\textordmasculine \\7x = 110\textordmasculine+720\textordmasculine \cdot n \\x=\frac{110\textordmasculine+720\textordmasculine \cdot n}{7} \\x=\frac{110\textordmasculine}{7} +\frac{720\textordmasculine }{7} \cdot n$

$\frac{7x + 70\textordmasculine}{2} =270\textordmasculine+360\textordmasculine \cdot n\\7x + 70\textordmasculine = 540\textordmasculine+720\textordmasculine \cdot n\\7x = 540\textordmasculine+720\textordmasculine \cdot n - 70\textordmasculine \\7x = 470\textordmasculine+720\textordmasculine \cdot n \\x=\frac{470\textordmasculine+720\textordmasculine \cdot n}{7} \\x=\frac{470\textordmasculine}{7} +\frac{720\textordmasculine }{7} \cdot n$

Por tanto, se obtiene que:

$x= \[\left \{\begin{array}{r}10\textordmasculine +240\textordmasculine \cdot n \\ 130\textordmasculine +240\textordmasculine \cdot n \\ \frac{110\textordmasculine}{7} +\frac{720\textordmasculine }{7} \cdot n \\ \frac{470\textordmasculine}{7} +\frac{720\textordmasculine }{7} \cdot n \end{array}\right .\]$

Determinando el valor de $\sin{(x+20\textordmasculine)}$ donde $n=1$

$\sin{[(10\textordmasculine+240\textordmasculine)+20\textordmasculine]}\\\sin{(270\textordmasculine)}\\-1$

$\sin{[(130\textordmasculine+240\textordmasculine)+20\textordmasculine]}\\\sin{(390\textordmasculine)}\\0.5$

$\sin{[(\frac{110\textordmasculine}{7}+\frac{720\textordmasculine}{7})+20\textordmasculine]}\\\sin{\frac{970\textordmasculine}{7}}\\0.661686$

$\sin{[(\frac{470\textordmasculine}{7}+\frac{720\textordmasculine}{7})+20\textordmasculine]}\\\sin{\frac{190\textordmasculine}{7}}\\-0.173648$

Respuesta:

$\sin{(x+20\textordmasculine)} = \[\left \{\begin{array}{r}-1 \\ 0.5 \\ 0.661686 \\ -0.173648 \end{array}\right .\]$