Question

5.- Encuentra la medida de los lados y ángulos que faltan del siguiente triángulo oblicuángulo.
AYUDAAAA​

Answer 1

El lado faltante b (AC) del triángulo  tiene una magnitud de aproximadamente 12.59 metros

Los ángulos A y C tienen un valor de 23.3° y de 71.7° respectivamente

RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULO  

Datos

$\bold{a =5 \ m}$

$\bold{c = 12 \ m}$

$\bold{B = 85^o}$

Calculamos la magnitud del lado faltante b (AC)

Para hallar la dimensión del tercer lado vamos a aplicar el teorema del coseno

¿Qué es el Teorema del Coseno?

El teorema del coseno, llamado también como ley de cosenos es una generalización del teorema de Pitágoras en los triángulos.

El teorema relaciona un lado de un triángulo cualquiera con los otros dos y con el coseno del ángulo formado por esos dos lados.

El teorema del coseno dice:

Dado un triángulo ABC cualquiera siendo α, β y γ los ángulos, y a, b y c los lados respectivamente opuestos a estos ángulos,

Entonces, se cumplen las relaciones:

$\boxed {\bold { a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 \ . \ b \ . \ c \ . \ cos(\alpha ) }}$

$\boxed {\bold { b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 \ . \ a \ . \ c \ . \ cos(\beta ) }}$

$\boxed {\bold { c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 \ . \ a \ . \ b \ . \ cos(\gamma ) }}$

Hallamos la longitud del lado b (AC)

Conocemos el valor de dos lados y la dimensión del ángulo comprendido entre ellos, luego empleamos el teorema del coseno para determinar la dimensión del lado faltante

Por el teorema del coseno podemos expresar

$\large\boxed {\bold { b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 \ . \ a \ . \ c \ . \ cos(B ) }}$

$\large\textsf{Reemplazamos valores }$

$\boxed {\bold { b^{2} =( 5 \ m)^{2} + (12 \ m)^{2} - 2 \ . \ 5 \ m \ . \ 12 \ m \ . \ cos(85^o) }}$

$\boxed {\bold { b^{2} = 25 \ m^{2} + 144 \ m^{2} - 120 \ m^{2} \ . \ cos(85^o) }}$

$\boxed {\bold { b^{2} =169 \ m^{2} - 120\ m^{2} \ . \ 0.087155742748 }}$

$\boxed {\bold { b^{2} = 169\ m^{2} -10.45868912976 \ m^{2} }}$

$\boxed {\bold {b^{2} =158.54131087 \ m^{2} }}$

$\boxed {\bold {\sqrt{ b^{2} } = \sqrt{158.54131087 \ m^{2} } }}$

$\boxed {\bold {b = \sqrt{ 158.54131087 \ m^{2} } }}$

$\boxed {\bold { b \approx 12.59131887 \ m }}$

$\large\boxed {\bold { b \approx 12.59\ m}}$

El lado faltante b (AC) del triángulo mide 12.59 metros

Hallamos los ángulos faltantes del triángulo

Para determinar los ángulos desconocidos aplicaremos el teorema del seno -también llamado como ley de senos-

Teorema del Seno:

El teorema del seno establece una relación de proporcionalidad existente entre las longitudes de los lados de un triángulo cualquiera con los senos de sus ángulos interiores opuestos.

Dado un triángulo ABC cualquiera con lados a, b y c y con ángulos interiores α, β y γ, siendo estos respectivamente opuestos a los lados,

Entonces se cumple la relación:

$\large\boxed { \bold { \frac{a}{ sen( \alpha )} = \frac{b}{ sen(\beta ) } = \frac{c}{sen(\gamma)} }}$

Hallamos el ángulo A

$\large\boxed { \bold { \frac{a}{ sen(A ) } = \frac{b}{sen(B)} }}$

$\large \textsf{Reemplazamos }$

$\boxed { \bold { \frac{5 \ m}{ sen( A ) } = \frac{b }{ sen( 85^o ) } }}$

El valor del lado b lo hallamos en el paso anterior, donde tomaremos para "b" una mayor cantidad de decimales con el objeto de hallar un ángulo interno más exacto

Luego

$\bold{ b=12.59131887 \ m }$

$\boxed { \bold { \frac{5 \ m}{ sen( A ) } = \frac{12.59131887 \ m }{ sen( 85^o ) } }}$

$\boxed { \bold { sen(A )= \frac{5 \not m \ . \ sen( 85^o ) }{12.59131887 \not m } }}$

$\boxed { \bold { sen(A )= \frac{ 5\ . \ sen( 85^o ) }{ 12.59131887} }}$

$\boxed { \bold { sen(A )= \frac{ 5 \ . \ 0.996194698092 }{ 12.59131887 } }}$

$\boxed { \bold { sen(A )= \frac{ 4.98097349046 }{ 12.59131887 } }}$

$\boxed { \bold { sen(A )=0.395587907977427 }}$

$\textsf{Aplicamos la inversa del seno para hallar el \'angulo }$

$\boxed { \bold {A =arcsen ( 0.395587907977427 ) }}$

$\boxed { \bold { A = 23.302645^o }}$

$\large\boxed { \bold { A=23.3^o }}$

El valor del ángulo A es de 23.3°

Hallamos el ángulo C

Por enunciado sabemos el valor de uno de los ángulos del triángulo y hemos hallado el segundo Vamos a hallar el valor del tercer ángulo del triángulo.

Como la suma de los ángulos interiores de un triángulo es igual a dos rectos es decir a 180°

$\boxed {\bold { 180^o =A+ B + C } }$

$\boxed {\bold { 180^o =C+ A + B } }$

$\boxed {\bold { 180^o =C +85^o + 23.3^o } }$

$\boxed {\bold { C = 180^o -85^o- 23.3^o } }$

$\large\boxed {\bold { C =71.7^o } }$

El valor del ángulo C es de 71.7°

Se adjunta gráfico para mejor comprensión de las relaciones entre los lados y los ángulos planteadas