Question

5.
Determinar los intervalos de
crecimiento y decrecimiento f(x)=3x-1/x+4

Answer 1

Hola, aquí va la respuesta

  Intervalos de crecimiento y de decrecimiento

Decimos que una función f es:

• Creciente si para cualquier par de puntos x₁, x₂  , tales que x₁ < x₂ se tiene que:

                                 f(x₁) ≤ f(x₂)

Es decir, si vamos aumentando los "x" (variable independiente), aumentarán también los valores de f(x)  (variable dependiente)

• Decreciente si para cualquier par de puntos x₁, x₂ tales que x₁ < x₂ se tiene que:

 

                              f(x₁) ≥ f(x₂)

Es decir, al ir aumentando la variable independiente, disminuye la variable dependiente

*En el gráfico se ve  un ejemplo de este tipo de funciones

Pero hay ciertas funciones donde en determinados intervalos, es creciente o es decreciente o incluso puede no ser ni ambos ,  para poder calcularlos vamos a recurrir a lo siguiente:

                  Prueba creciente/decreciente

• Si f'(x) > 0 sobre un intervalo, entonces f es creciente en ese intervalo

• Si f'(x) > 0 sobre un intervalo, entonces f es decreciente en ese intervalo

Veamos como lo hacemos

Tenemos la función  f(x)= 3x -1 / x + 4

El dom(f)= R\ {-4} , es decir todos los reales salvo el -4

Calculemos la derivada de esta función usando regla del cociente

$f'(x)= \frac{(3x-1)'*(x+4) - (3x-1)*(x+4)'}{(x+4)^{2} }$

$f'(x)= \frac{3*(x+4)-3x+1}{(x+4)^{2} }$

$f'(x)= \frac{3x+12-3x+1}{(x+4)^{2} }$

$f'(x)= \frac{13}{(x+4)^{2} }$

Podemos ver que f'(x) nunca se hace negativa, es decir es siempre positiva para todo R \ {-4}

Entonces la función f no tiene intervalos de decrecimiento, será solo una función creciente en los intervalos:

      (-∞; -4) U (-4, ∞)

*Adjunto gráfica de la función

Saludoss