Question

5. Demostrar que los puntos P1(0, 5), P2(6, -3) y P3(3, 6), son vértices de un triángulo rectángulo. Hallar su área.

Answer 1

Los puntos descritos son vértices de un triángulo rectángulo cuya área es 15.

Explicación:

Con los puntos dados se pueden encontrar vectores que constituyen los lados del triángulo.

$v_1=(x_1-x_2,y_1-y_2)=(0-6,5-(-3))=(-6,8)\\v_2=(x_1-x_3,y_1-y_3)=(0-3,5-6)=(-3,-1)\\v_3=(x_2-x_3,y_2-y_3)=(6-3,-3-6)=(3,-9)$

Ahora vamos a hallar los productos escalares posibles entre los tres vectores, si alguno de ellos es cero, significa que son perpendiculares, y habremos comprobado que forman un triángulo rectángulo:

$v_1.v_2=(-6).(-3)+8(-1)=10\\v_2.v_3=(-3).3+(-1)(-9)=0$

Comprobamos que v2 y v3 son perpendiculares, por lo tanto, los puntos P1, P2 y P3 forman un triángulo rectángulo. Las medidas de los catetos son los módulos de v2 y v3, y el área de un triángulo rectángulo es la mitad del producto entre las medidas de los catetos:

$A=\frac{||v_2||.||v_3||}{2}=\frac{\sqrt{3^2+1^2}\sqrt{3^2+9^2}}{2}\\\\A=\frac{\sqrt{10}\sqrt{90}}{2}=15$