5.- De la ecuación general de la parábola x² - 4x - 8y - 44 =0, con vértice fuera del
origen, calcular las coordenadas del vértice, foco, puntos extremos del lado recto y la
ecuación de la directriz.
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Respuestas a la pregunta
Al resolver el problema se obtiene:
Las coordenadas del vértice son: v(2, -6)
Las coordenadas del foco son: f(2, -4)
Los puntos extremos del lado recto son: (6, -4); (-2, -4)
La ecuación de la directriz es: D: y + 8= 0
Partiendo de la ecuación general de la parábola:
x² - 4x - 8y - 44 = 0
Agrupar;
x² - 4x = 8y + 44
Sumar 4 a ambos lados;
x² - 4x + 4 = 8y + 44 + 4
(x - 2)² = 8y + 48
(x - 2)² = 8(y + 6)
Siendo;
Vértice: (x₀, y₀) = (2, -6)
Foco, es la distancia del vértice al foco o a la directriz:
f(x₀; y₀± p/2) = f(2, -6 +2) = f(2, -4)
La directriz (D) es una recta externa a la parábola:
p = 8/2 = 4
y = -4-4
D: y + 8= 0
Lado recto: LR = |2p| = 8
Puntos extremos del lado recto;
Para y = -4;
(x - 2)² = 8(-4 + 6)
x² - 4x + 4 = 16
x² - 4x - 12 = 0
Aplicar la resolvente;
x₁,₂ = -b±√(b²-4ac)/2a
sustituir;
x₁,₂ = 4±√(4²-4(-12))/2
x₁,₂ = 4±√(64)/2
x₁,₂ = 4±8/2
x₁ = 6; x₂ = -2
Puntos: (6, -4); (-2, -4)
