Question

5. Dados los vectores u = -6i + 9j y v = -i + 9j es correcto afirmar que el vector w
= -11i - 9j es una combinación lineal de u y v? Justifique su respuesta.

5.1.Sea el conjunto N = {Matrices Simétricas Cuadradas N2x2} y sea V el espacio
vectorial conformado por las matrices cuadradas M2x2. Demostrar que N es un
subespacio del espacio vectorial V.

Answer 1

Para que el vector w sea una combinación lineal de los vectores u y v, se debe cumplir la definición de combinación lineal de vectores:


w = k1*u + k2*v 


donde k1 y k2 son escalares


-11i - 9j = k1 (-6i + 9j) + k2 (-i + 9j)


Igualando las componentes:


-11 = -6k1 - k2

-9 = 9k1 + 9k2 ; -1 = k1 + k2


Despejando k1 de la 2da ecuación:


k1 = -1 - k2


Sustituyendo en la 1era ecuación:


-11 = -6 ( -1 - k2) - k2

-11 = 6 + 6k2 - k2

-11 - 6 = 5k2

k2 = -17/5


Sustituyendo k2

k1 = -1 - (-17/5)

k1 = (-5 + 17)/5

k1 = 12/5


Comprobación:

2) -1 = (12 - 17)/5

-1 = -1


1) -11 = -6 (12/5) - (-17/5)
 
    -11 = (-72 + 17)/5
 
    -11 = -11


Sol: k1 = 12/5 ; k2 = -17/5 


Para que N sea un subespacio del espacio vectorial de V, se debe cumplir las siguientes condiciones:

a) Si u y v son vectores de N, entonces u + v está en W


b) Si k es cualquier escalar y u es cualquier vector en W, entonces ku está en W.


       u =  u11   u12             ;        v = v11   v12
              u21   u22                            v21  v22


u + v = u11  u12      +      v11  v12
            u21  u22              v21  v22


u + v = u11 + v11    u12 + v12
            u21 + v21   u22 + v22


Se cumple, puesto que u + v es una matriz de 2x2 que también está contenida en el espacio vectorial V M2x2


ku = k  u11  u12  =  ku11  ku12
            u21  u22      ku21  ku22


ku está contenida en V, puesto que genera también una matriz de M2x2


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