5. ¿Cuándo lanzamos un cohete al espaci
varía su masa?
a. Obvio
b. No, esta se mantiene
C. Depende de la hora
d. Nunca.
Respuestas a la pregunta
En esta página, estudiaremos el movimiento de un cohete en el espacio exterior.
Un cohete ordinario funciona a base de reacciones químicas que proporcionan una velocidad constante u de salida de los gases en el Sistema de Referencia en el cohete. Si la cantidad de combustible D que se quema en la unidad de tiempo es constante, entonces el empuje que proporcionan al cohete los gases expulsados es también constante.
En esta página, veremos que la velocidad final del cohete no depende de la cantidad D de combustible quemado en la unidad de tiempo, aunque el tiempo que tarda en alcanzar la velocidad máxima o el desplazamiento del cohete si dependen de esta cantidad.
Ecuación del movimiento
Consideremos un cohete de masa inicial m que lleva una velocidad v respecto a un Sistema de Referencia Inercial (por ejemplo, la Tierra).
En el instante t+Δt, una masa Δμ se expulsa con una velocidad constante –u relativa al cohete, como consecuencia la masa restante (m-Δμ) del cohete se incrementa en v+Δv.
En el instante t el cohete de masa m lleva una velocidad v. Su momento lineal es
p(t)=mv
En el instante t+Δt
El cohete tiene una masa m-Δμ, su velocidad es v+Δv.
La masa expulsada Δμ lleva una velocidad –u respecto del cohete o una velocidad –u+ v, respecto de Tierra
El momento lineal en este instante es
p(t+Δt)=(m-Δμ)(v+Δv)+ Δμ(–u+ v)
Si el cohete está en el espacio exterior, el sistema formado por el cohete y el combustible que expulsa es aislado, el momento lineal p permanece constante. La ecuación del movimiento del cohete es
Δp= p(t+Δt)- p(t)=m·Δv- u·Δμ-Δv·Δμ=0
En el límite cuando Δt→0
La masa M del sistema formado por el cohete m y el combustible expulsado μ es constante M=μ+m, por lo que dμ+dm=0. La masa del cohete disminuye en dm y aumenta la masa del combustible expulsado en la misma cantidad.
(1)
Despejando dv
cuya integración entre los instantes 0 y t conduce a la siguiente expresión
Suponemos que la cantidad de combustible quemado en la unidad de tiempo, D, es constante, D=-dm/dt. La masa m del cohete en el instante t valdrá m=m0-D·t. Donde m0 es la suma de la carga útil más el combustible inicial, y D·t es el combustible quemado al cabo de un cierto tiempo t.
La ecuación del movimiento (1), la podemos interpretar afirmando que el cohete se comporta como una partícula de masa variable m que se mueve bajo la acción de una fuerza de empuje constante u·D.
Para hallar el desplazamiento x del cohete en el tiempo t, se integra la expresión de la velocidad
para lo cual, es útil conocer la integral
resultando la expresión
Cuando se agota el combustible, el cohete se mueve con velocidad constate.