Question

5. Calcule la derivada implícita de la Siguiente función.

Answer 1

La derivada de la función definida implícitamente presentada es $y'=\frac{2y}{x(3y^3-2)}$

Desarrollo:

La derivación implícita se utiliza cuando en una función no es posible despejar una de las variables para ponerla en función de las otras. El procedimiento es derivar en ambos miembros, tratando a una de las variables como una función en sí misma, lo que significa que en los términos que la contengan, se aplica regla de producto ó de la cadena según la situación de ella.

En este caso vamos a tratar a 'y' como una y(x) nos queda:

$ln(xy)^2-y^3=25\\\\2ln(xy)-y^3=25$

Derivamos en ambos miembros, en el primer término aplicamos primero regla de la cadena y luego regla de producto para xy y en el segundo término regla de la cadena:

$2\frac{1}{xy}.(y+xy')-3y^2y'=0$

Distribuyendo:

$2\frac{y+xy'}{xy}-3y^2y'=0\\\\2(\frac{1}{x}+\frac{y'}{y})-3y^2y'=0\\\\\frac{2}{x}+\frac{2y'}{y}-3y^2y'=0$

Ahora hay que despejar y':

$\frac{2y'}{y}-3y^2y'=-\frac{2}{x}\\\\y'(\frac{2}{y}-3y^2)=-\frac{2}{x}\\\\y'(\frac{2-3y^3}{y})=-\frac{2}{x}\\\\y'=\frac{2y}{x(3y^3-2)}$

Con lo que tenemos la derivada de la función definida implícitamente.

Answer 2

Respuesta:

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