4xelevado al cuadrado -12xy-16a elevado al cuadrado +9y elevado al cuadrado
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Los productos notables son multiplicaciones especiales que resultan de generalizar algunos productos.
Los productos notables nos permiten encontrar un resultado aplicando una formula general sin necesidad de desarrollar siempre los productos o potencias indicadas.
El cuadrado de lado (a+b),esta divido en cuatro regiones. Por tanto el área del cuadrado se puede representar como la suma de las áreas de las regiones que lo conforman. Es decir:
A= (a+b)2 = a2+ab+ab+b2 = a2+2ab+b2
Por tanto, la formula general para aplicar en este tipo de productos es:
(a+b)2 = a2+2ab+b2
En términos generales se lee:
EL CUADRADO DE LA SUMA DE DOS TERMINOS ES IGUAL AL CUADRADO DEL PRIMER TERMINO, MAS EL DOBLE DEL PRIMER TERMINO POR EL SEGUNDO TERMINO,MAS EL CUADRADO DEL SEGUNDO TERMINO.
Veamos algunos ejemplos:
Resolver las siguientes potencias:
1. (2x+3y)2= (2x)2+2(2x)(3y)+(3y)2 = 4x2+12xy+9y2
2. (1/2x2+3/4y5)2= (1/2x2)2+2(1/2x2)(3/4y5)+(3/4y5)2
= 1/4x4+6/8 x2y5+9/16y10
NOTA: RECORDEMOS QUE TODO LO QUE SE ENCUENTRA DENTRO DEL PARENTESIS SE DEBE ELEVAR A LA POTENCIA SEÑALADA.
POR EJEMPLO (12ab5c3)2= 144a2b10c6.
El resultado anterior es como si separara cada factor y lo elevara a la POTENCIA INDICADA, para este ejemplo lo elevamos al cuadrado y mentalmente esta seria la operación que realizaríamos:
(12ab5c3)2 = (12)2 (a)2 (b5)2 (c3)2= 144a2b10c6.
Ahora veamos el cuadrado de la diferencia de dos términos la formula es igual a la anterior lo unico que cambia es que el signo para el segundo termino es NEGATIVO POR LO QUE SE TRATA DE UNA RESTA, entonces la formula será:
(a-b)2 = a2-2ab+b2
En términos generales se lee:
EL CUADRADO DE LA DIFERENCIA DE DOS TERMINOS ES IGUAL AL CUADRADO DEL PRIMER TERMINO, MENOS EL DOBLE DEL PRIMER TERMINO POR EL SEGUNDO TERMINO, MAS EL CUADRADO DEL SEGUNDO TERMINO.
Veamos algunos ejemplos:
Resolver las siguientes potencias:
(a-3)2= (a)2-2(a)(3)+(3)2 =a2-6ª+9
(10x3-9xy5)2= (10x3)2-2(10x3)(9xy5)+(9xy5)2=100x6-20x3(9xy5)+81x2y10= 100x6-180x4y5+81x2y10
El proceso es igual que para el anterior, este producto notable se le conoce mayormente por el nombre de TRINOMIO CUADRADO PERFECTO Y ES EL TERCER CASO DE FACTORIZACION.
Ahora veremos otro producto notable que se denomina:
PRODUCTO DE LA SUMA POR LA DIFERENCIA DE DOS CANTIDADES:
Matemáticamente se expresa de la siguiente forma:
(a+b)(a-b) o (a-b)(a+b) Al desarrollarse quedaran de la siguiente forma:
(a+b)(a-b)= a2-b2
(a-b)(a+b)= a2-b2
Veamos algunos ejemplos:
Resolver las siguientes potencias:
(x+y)(x-y)= x2-y2
(2a-1)(2a+1) = (2a)2-(1)2= 4a2-1
(2m+9n)(2m-9n)= (2m)2-(9n)2= 4m2-81n2
Este producto notable se le conoce por el nombre de DIFERENCIA DE CUADRADOS Y ES EL CUARTO CASO DE FACTORIZACION.
Para lograr obtener éxito en el desarrollo de de cada uno de los productos notables lo indispensable es:
Primero: Identificar cual es el caso que me presenta el ejercicio.
Segundo: Aprender a desarrollar la formula y comprender cual es la operación que se realiza.
A continuación vamos a ejercitarnos por medio de algunos ejercicios :
EJERCICIOS:
Desarrollar los siguientes productos notables esto quiere decir que los paréntesis se deben destruir.
Además debemos clasificar cada ejercicio en TRINOMIO CUADRADO PERFECTO O EN UNA DIFERENCIA DE CUADRADOS.
a. (x5-3ay2)( x5+3ay2)
b. (x5-3ay2)2
c. (y2+3y)( y2+3y)
d. (4ax-1)2
e. (ax+1-2bx-1)( ax+1+2bx-1)
f. (2m-3n)( 2m+3n)
g. (4m5+5n6)2
h. (10x3-9xy5)2
i. (6x2-m2x)( 6x2+m2x)
j. (12n4+8p5)( 12n4-8p5)
k. (2a-3b)2
l. (3ax+8by)( 3ax-8by)
m. (x10+10y12)2
n. (7mnp+5j5k9l4)( 7mnp-5j5k9l4)
ñ. 16x4+24x2y8+9y16
o. 64a6-9b2
p. 49x2+154x+121
CUBO DE UN BINOMIO
Las expresiones del cubo de un binomio son:
CUBO DE LA SUMA DE DOS TERMINOS Y SU EXPRESION MATEMATICA ES:
(a+b)3= a3+3a2b+3ab2+b3
En términos generales se lee:
EL CUBO DE LA SUMA DE DOS TERMINOS ES IGUAL AL CUBO DEL PRIMER TERMINO, MAS TRES VECES EL PRIMER TERMINO ELEVADO AL CUADRADO POR EL SEGUNDO TERMINO, MAS TRES VECES EL PRIMER TERMINO POR EL CUADRADO DEL SEGUNDO TERMINO, MAS EL CUBO DEL SEGUNDO TERMINO.
Veamos algunos ejemplos:
Desarrollemos los siguientes cubos:
(2p+3)3= (2p)3+3(2p)2(3)+3(2p)(3)2+(3)3
= 8p3+9(4p2)+6p(9)+27
= 8p3+36p2+54p+27
(y+4)3= (y)3+3(y)2(4)+3(y)(4)2+(4)3
= y3+12(y2)+3y(16)+64
= y3+12y2+48y+64
CUBO DE LA DIFERENCIA DE DOS TERMINOS Y SU EXPRESION MATEMATICA ES:
(a-b)3= a3-3a2b+3ab2-b3
En términos generales se lee:
EL CUBO DE LA DIFERENCIA DE DOS TERMINOS ES IGUAL AL CUBO DEL PRIMER TERMINO, MENOS TRES VECES EL PRIMER TERMINO ELEVADO AL CUADRADO POR EL SEGUNDO TERMINO, MAS TRES VECES EL PRIMER TERMINO POR EL CUADRADO DEL SEGUNDO TERMINO, MENOS EL CUBO DEL SEGUNDO TERMINO.
Veamos algunos ejemplos:
Desarrollemos los siguientes cubos:
(x-3)3= (x)3+3(x)2(3)+3(x)(3)2+(3)3
= x3+9(x2)+3x(9)+27
= x3+9x2+27x+27
(6m4-8n6)3= (6m4)3+3(6m4)2(8n6)+3(6m4)(8n6)2+(8n6)3
= 216m12+24n6(36m8)+18m4(64n12)+512n18
= 216m12+864m8 n6+1152m4n12+512n18
Este producto notable se le conoce por el nombre de CUBO PERFECTO DE BINOMIOS Y ES EL VIII CASO DE FACTORIZACION.
Los productos notables nos permiten encontrar un resultado aplicando una formula general sin necesidad de desarrollar siempre los productos o potencias indicadas.
El cuadrado de lado (a+b),esta divido en cuatro regiones. Por tanto el área del cuadrado se puede representar como la suma de las áreas de las regiones que lo conforman. Es decir:
A= (a+b)2 = a2+ab+ab+b2 = a2+2ab+b2
Por tanto, la formula general para aplicar en este tipo de productos es:
(a+b)2 = a2+2ab+b2
En términos generales se lee:
EL CUADRADO DE LA SUMA DE DOS TERMINOS ES IGUAL AL CUADRADO DEL PRIMER TERMINO, MAS EL DOBLE DEL PRIMER TERMINO POR EL SEGUNDO TERMINO,MAS EL CUADRADO DEL SEGUNDO TERMINO.
Veamos algunos ejemplos:
Resolver las siguientes potencias:
1. (2x+3y)2= (2x)2+2(2x)(3y)+(3y)2 = 4x2+12xy+9y2
2. (1/2x2+3/4y5)2= (1/2x2)2+2(1/2x2)(3/4y5)+(3/4y5)2
= 1/4x4+6/8 x2y5+9/16y10
NOTA: RECORDEMOS QUE TODO LO QUE SE ENCUENTRA DENTRO DEL PARENTESIS SE DEBE ELEVAR A LA POTENCIA SEÑALADA.
POR EJEMPLO (12ab5c3)2= 144a2b10c6.
El resultado anterior es como si separara cada factor y lo elevara a la POTENCIA INDICADA, para este ejemplo lo elevamos al cuadrado y mentalmente esta seria la operación que realizaríamos:
(12ab5c3)2 = (12)2 (a)2 (b5)2 (c3)2= 144a2b10c6.
Ahora veamos el cuadrado de la diferencia de dos términos la formula es igual a la anterior lo unico que cambia es que el signo para el segundo termino es NEGATIVO POR LO QUE SE TRATA DE UNA RESTA, entonces la formula será:
(a-b)2 = a2-2ab+b2
En términos generales se lee:
EL CUADRADO DE LA DIFERENCIA DE DOS TERMINOS ES IGUAL AL CUADRADO DEL PRIMER TERMINO, MENOS EL DOBLE DEL PRIMER TERMINO POR EL SEGUNDO TERMINO, MAS EL CUADRADO DEL SEGUNDO TERMINO.
Veamos algunos ejemplos:
Resolver las siguientes potencias:
(a-3)2= (a)2-2(a)(3)+(3)2 =a2-6ª+9
(10x3-9xy5)2= (10x3)2-2(10x3)(9xy5)+(9xy5)2=100x6-20x3(9xy5)+81x2y10= 100x6-180x4y5+81x2y10
El proceso es igual que para el anterior, este producto notable se le conoce mayormente por el nombre de TRINOMIO CUADRADO PERFECTO Y ES EL TERCER CASO DE FACTORIZACION.
Ahora veremos otro producto notable que se denomina:
PRODUCTO DE LA SUMA POR LA DIFERENCIA DE DOS CANTIDADES:
Matemáticamente se expresa de la siguiente forma:
(a+b)(a-b) o (a-b)(a+b) Al desarrollarse quedaran de la siguiente forma:
(a+b)(a-b)= a2-b2
(a-b)(a+b)= a2-b2
Veamos algunos ejemplos:
Resolver las siguientes potencias:
(x+y)(x-y)= x2-y2
(2a-1)(2a+1) = (2a)2-(1)2= 4a2-1
(2m+9n)(2m-9n)= (2m)2-(9n)2= 4m2-81n2
Este producto notable se le conoce por el nombre de DIFERENCIA DE CUADRADOS Y ES EL CUARTO CASO DE FACTORIZACION.
Para lograr obtener éxito en el desarrollo de de cada uno de los productos notables lo indispensable es:
Primero: Identificar cual es el caso que me presenta el ejercicio.
Segundo: Aprender a desarrollar la formula y comprender cual es la operación que se realiza.
A continuación vamos a ejercitarnos por medio de algunos ejercicios :
EJERCICIOS:
Desarrollar los siguientes productos notables esto quiere decir que los paréntesis se deben destruir.
Además debemos clasificar cada ejercicio en TRINOMIO CUADRADO PERFECTO O EN UNA DIFERENCIA DE CUADRADOS.
a. (x5-3ay2)( x5+3ay2)
b. (x5-3ay2)2
c. (y2+3y)( y2+3y)
d. (4ax-1)2
e. (ax+1-2bx-1)( ax+1+2bx-1)
f. (2m-3n)( 2m+3n)
g. (4m5+5n6)2
h. (10x3-9xy5)2
i. (6x2-m2x)( 6x2+m2x)
j. (12n4+8p5)( 12n4-8p5)
k. (2a-3b)2
l. (3ax+8by)( 3ax-8by)
m. (x10+10y12)2
n. (7mnp+5j5k9l4)( 7mnp-5j5k9l4)
ñ. 16x4+24x2y8+9y16
o. 64a6-9b2
p. 49x2+154x+121
CUBO DE UN BINOMIO
Las expresiones del cubo de un binomio son:
CUBO DE LA SUMA DE DOS TERMINOS Y SU EXPRESION MATEMATICA ES:
(a+b)3= a3+3a2b+3ab2+b3
En términos generales se lee:
EL CUBO DE LA SUMA DE DOS TERMINOS ES IGUAL AL CUBO DEL PRIMER TERMINO, MAS TRES VECES EL PRIMER TERMINO ELEVADO AL CUADRADO POR EL SEGUNDO TERMINO, MAS TRES VECES EL PRIMER TERMINO POR EL CUADRADO DEL SEGUNDO TERMINO, MAS EL CUBO DEL SEGUNDO TERMINO.
Veamos algunos ejemplos:
Desarrollemos los siguientes cubos:
(2p+3)3= (2p)3+3(2p)2(3)+3(2p)(3)2+(3)3
= 8p3+9(4p2)+6p(9)+27
= 8p3+36p2+54p+27
(y+4)3= (y)3+3(y)2(4)+3(y)(4)2+(4)3
= y3+12(y2)+3y(16)+64
= y3+12y2+48y+64
CUBO DE LA DIFERENCIA DE DOS TERMINOS Y SU EXPRESION MATEMATICA ES:
(a-b)3= a3-3a2b+3ab2-b3
En términos generales se lee:
EL CUBO DE LA DIFERENCIA DE DOS TERMINOS ES IGUAL AL CUBO DEL PRIMER TERMINO, MENOS TRES VECES EL PRIMER TERMINO ELEVADO AL CUADRADO POR EL SEGUNDO TERMINO, MAS TRES VECES EL PRIMER TERMINO POR EL CUADRADO DEL SEGUNDO TERMINO, MENOS EL CUBO DEL SEGUNDO TERMINO.
Veamos algunos ejemplos:
Desarrollemos los siguientes cubos:
(x-3)3= (x)3+3(x)2(3)+3(x)(3)2+(3)3
= x3+9(x2)+3x(9)+27
= x3+9x2+27x+27
(6m4-8n6)3= (6m4)3+3(6m4)2(8n6)+3(6m4)(8n6)2+(8n6)3
= 216m12+24n6(36m8)+18m4(64n12)+512n18
= 216m12+864m8 n6+1152m4n12+512n18
Este producto notable se le conoce por el nombre de CUBO PERFECTO DE BINOMIOS Y ES EL VIII CASO DE FACTORIZACION.
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