Question

48. La siguiente figura muestra un rectangulo
de 20 cm2 de superficie inscrito en un
hexágono regular
¿Cuál es el área total del hexágono?
A) 10 cm
B) 30 cm
C) 40 cm?
D) 60 cm
*con operacion*
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Answer 1

El área total del hexagono es 30 cm2

Como el hexágono es regular, todos sus lados tienen la misma longitud y los ángulos de sus vértices son 120°, así que si trazamos una recta desde uno de sus vértices hasta una de las base del rectángulo, formamos un triangulo rectángulo, como se muestra en la figura anexa.

De este diagrama podemos sacar 2 ecuaciones que nos permitirán resolver el problema:

$A_{Rectangulo} =a*b=20cm^{2} \\Tan(60)=\frac{b/2}{a} =\frac{b}{2a}$

Si despejamos b de la segunda ecuación tenemos

$1,73=\frac{b}{2*a}\\ b=3,46*a$

Al sustituir este valor en la primera ecuación

$a*3,46*a=20cm^{2} \\a^{2}=\frac{20}{3,46}cm2\\  a=2,4cm$

Por lo tanto b será 8,33 cm

Con los valores de a y b podemos hallar la altura (c) del triángulo con la relación trigonométrica del coseno

$cos(60)=c/2,4\\C=2,4*cos(60)\\C=1,2cm$

Ahora calculamos el área del triangulo y lo multiplicamos por 2 (triangulo superior mas triangulo inferior)

$A_{TrianSup} =\frac{B*A}{2} =\frac{8,33cm*1,2cm}{2} =5cm^{2} \\\\Ax_{Triangulos} =2*5cm^{2}=10cm^{2}$

Por lo tanto el área del hexágono sera la suma de las 2 áreas (triángulos más rectángulo), es decir 30 cm2

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