Question

42. La temperatura T en un punto (x,y,z) en el espacio es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia de (x,y,z) al origen sabemos que T(0,0,1)=500.Encuentre la tasa de cambio de la temperatura T en (2,3,3)en la direccion de (3,1,1). ¿en cual direccion a partir de (2,3,3) la temperatura T aumenta con mayor rapidez en (2,3,3)¿ cual es la maxima tasa de cambio de T?

Answer 1

En el punto (2,3,3) y en la dirección del vector (3,1,1) la tasa de cambio de la temperatura es $-\frac{3000}{121}$. La máxima tasa de cambio la tenemos en la dirección de (2,3,3) y es $-\frac{500}{11}$

Explicación paso a paso:

Si la temperatura es inversamente proporcional a la distancia al origen y en el punto (0,0,1) es 500, entonces tenemos:

$f(x,y,z)=\frac{k}{x^2+y^2+z^2}\\\\\frac{k}{0^2+0^2+1^2}=500=>f(x)=\frac{500}{x^2+y^2+z^2}$

La tasa de cambio de la temperatura T en (2,3,3) en la dirección de (3,1,1) es la derivada direccional de la temperatura en dirección del vector v=(3,1,1):

$D_vf=\nabla f.v=(\frac{df}{dx},\frac{df}{dy},\frac{df}{dz}).(3,1,1)\\\\D_vf=\nabla f.v=(-\frac{500.2x}{(x^2+y^2+z^2)^2},-\frac{500.2y}{(x^2+y^2+z^2)^2},-\frac{500.2z}{(x^2+y^2+z^2)^2}).(3,1,1)\\\\(x,y,z)=(2,3,3)=>\\=>D_vf=\nabla f.v=(-\frac{1000.2}{(2^2+3^2+3^2)^2},-\frac{1000.3}{(2^2+3^2+3^2)^2},-\frac{1000.3}{(2^2+3^2+3^2)^2}).(3,1,1)\\\\D_vf=\nabla f.v=(-\frac{2000}{(22)^2},-\frac{3000}{(22)^2},-\frac{3000}{(22)^2}).(3,1,1)$

Haciendo el producto escalar queda:

$D_vf=\nabla f.v=(-\frac{2000}{484},-\frac{3000}{484},-\frac{3000}{484}).(3,1,1)\\\\D_vf=-\frac{6000}{484}-\frac{3000}{484}-\frac{3000}{484}=-\frac{12000}{484}=-\frac{3000}{121}$

La tasa de cambio máxima es el módulo del vector gradiente, por lo que la dirección en la que tenemos la máxima derivada direccional es en la dirección paralela al mismo:

$\nabla f(2,3,3)=(-\frac{2000}{484},-\frac{3000}{484},-\frac{3000}{484})=(2,3,3).(-\frac{250}{121},-\frac{250}{121},-\frac{250}{121})$

Calculando la derivada direccional en dirección de (2,3,3) podemos hallar la máxima tasa de cambio:

$D_vf=\nabla f.v=(-\frac{2000}{484},-\frac{3000}{484},-\frac{3000}{484}).(2,3,3)=-\frac{4000}{484}-\frac{9000}{484}-\frac{9000}{484}=-\frac{22000}{484}\\\\D_vf=-\frac{5500}{121}=-\frac{500}{11}$