4. Una escalera de 12 m de longitud se encuentra apoyada a una pared formando un ángulo de 45° con el piso. Al cabo de un tiempo se mue- ve la escalera sobre la pared y ahora forma con el piso un ángulo de 30°. ¿Qué distancia se des- plazó el punto de apoyo de la escalera con la pared? Considera √2 = 1,41.
a. 2,46 m
b. 3,28 m
c. 4,10 m
d. 4,92 m
e. 5,74 m
Respuestas a la pregunta
Respuesta:
E)
La proyección de la escalera con el piso mide aproximadamente 8,918 metros
Se trata de un problema de razones trigonométricas en un triángulo rectángulo.
Las razones trigonométricas de un ángulo α son las razones obtenidas entre los tres lados de un triángulo rectángulo.
Solución
Representamos la situación en un triángulo rectángulo ABC el cual está conformado por el lado AB que equivale a la longitud de la escalera, el lado AC que representa la medida de la proyección de la escalera con el piso, el lado BC que es la pared en donde se apoya la parte superior de la escalera. Donde el ángulo de elevación de 42° está conformado por la longitud de la escalera y su base inferior con el piso
Donde se pide calcular:
La medida de la proyección de la escalera con el piso
Esto se puede observar en al gráfico adjunto, además del planteo y resolución del ejercicio.
Conocemos la longitud de la escalera y de un ángulo de elevación de 42°
Longitud de la escalera = 12 metros
Ángulo de elevación = 42°
Debemos hallar la medida de la proyección de la escalera con el piso
Si el coseno de un ángulo α se define como la razón entre el cateto adyacente y la hipotenusa
Como sabemos el valor de la hipotenusa (longitud de la escalera), asimismo conocemos un ángulo de elevación de 42° y debemos hallar la medida de la proyección de la escalera con el piso, relacionamos los datos que tenemos con el coseno del ángulo α
Planteamos
\boxed { \bold { cos(42)^o = \frac{ cateto \ adyacente }{ hipotenusa } }}
cos(42)
o
=
hipotenusa
cateto adyacente
\boxed { \bold { cos(42)^o =\frac{proyeccion\ escalera \ piso }{ longitud\ de \ la \ escalera } }}
cos(42)
o
=
longitud de la escalera
proyeccion escalera piso
\boxed { \bold { proyeccion\ escalera \ piso = longitud\ de \ la \ escalera \ . \ cos(42)^o }}
proyeccion escalera piso=longitud de la escalera . cos(42)
o
\boxed { \bold { proyeccion\ escalera \ piso = 12\ metros \ . \ cos(42)^o }}
proyeccion escalera piso=12 metros . cos(42)
o
\boxed { \bold { proyeccion\ escalera \ piso = 12\ metros \ . \ 0.7431448254773 }}
proyeccion escalera piso=12 metros . 0.7431448254773
\boxed { \bold { proyeccion\ escalera \ piso \approx \ 8,9177379\ metros }}
proyeccion escalera piso≈ 8,9177379 metros
\large\boxed { \bold { proyeccion\ escalera \ piso \approx \ 8,918\ metros }}
proyeccion escalera piso≈ 8,918 metros
La proyección de la escalera con el piso mide aproximadamente 8,918 metros