4.- Una empresa que produce calcetines y empaca en cajas, desea saber cuál será el número de cajas que deben preparar para minimizar el costo promedio por caja, determine el costo promedio mínimo (con dos decimales). El costo total de producir x cajas es
C= 3x2+50x -17xLnx+120
Respuestas a la pregunta
El costo promedio por caja mínimo es de 52,84 unidades monetarias y se alcanza cuando se producen 9,76 cajas en promedio.
Explicación paso a paso:
La función objetivo, la que se desea minimizar, es la función costo promedio (Cp). Este se obtiene dividiendo la función costo total (C) por la cantidad de cajas (x); es decir
Cp = C/x = (3x² + 50x - 17xLnx + 120)/x = 3x + 50 - 17Lnx + 120/x
Los valores máximos y mínimos de una función se obtienen usando los criterios de primera y segunda derivada para extremos relativos.
Primero, hallamos el o los puntos críticos de la función. Esto es derivar la función e igualar a cero. Los puntos que satisfacen esta ecuación son los puntos críticos de Cp.
Cp' = 3 - 17/x - 120/x²
Cp' = 0 ⇒ 3 - 17/x - 120/x² = 0 ⇒
3x² - 17x - 120 = 0 ⇒ x = 9,76 ∨ x = -4,10
Por ser número de cajas, tomamos el valor positivo: x = 9,76
Este es el punto crítico o posible extremo de la función.
Segundo, hallamos la derivada de segundo orden que nos permitirá decidir si el punto crítico considerado es un máximo, segunda derivada negativa, o un mínimo, segunda derivada positiva.
Cp'' = 17/x² + 240/x³
Tercero, evaluamos la segunda derivada en cada punto crítico y aplicamos el criterio de decisión correspondiente.
Cp''(9,76) > 0 ⇒ x = 9,76 es un mínimo de la función Cp.
Cuarto, evaluamos la función en el valor de x y obtenemos el valor mínimo de Cp; es decir, el valor del mínimo costo promedio en que se puede incurrir.
Cp(9,76) = 52,84
El costo mínimo promedio posible es de 52,84 unidades monetarias.