Question

4. Un juego de lanzamiento de dados utiliza una cuadrícula de cuatro casillas. Las casillas están designadas en sentido horario como A, B, C y D con retribuciones monetarias de $4, -$2, -$6 y $9, respectivamente. Comenzando en la casilla A, lanzamos el dado para determinar la siguiente casilla a la que nos moveremos en el sentido de las manecillas del reloj. Por ejemplo, si el dado muestra 2, nos movemos a la casilla C. El juego se repite utilizando la última casilla como punto inicial. • Exprese el problema como una cadena de Markov.

Answer 1

 Hola.

 Partiendo de la posición A, se puede llegar a la B con un 1 o con un 5:

P(A;B) = 2/6

 Se puede llegar a la C con un 2 o con un 6:

P(A;C) = 2/6

Se puede llegar a la D con un 3:

P(A;C) = 1/6

 O se puede volver a la A con 4:

P(A;A) = 1/6

 Por lo tanto, si llamamos "i" a la posición inicial y "j" a la posición final, el vector de probabilidades de la posición inicial es:

$\pi_{0}=P(A;j)=( \frac{1}{6}; \frac{2}{6}; \frac{2}{6}; \frac{1}{6})$

Si razonamos de la misma manera para cada tiro siguiente, obtendremos la matriz de transición para un tiro partiendo de cualquier casilla:

$P= \left[\begin{array}{cccc} \frac{1}{6} & \frac{2}{6}& \frac{2}{6}& \frac{1}{6}\\ \frac{1}{6}& \frac{1}{6}& \frac{2}{6}& \frac{2}{6}\\ \frac{2}{6}& \frac{1}{6}& \frac{1}{6}& \frac{2}{6}\\ \frac{2}{6}& \frac{2}{6}& \frac{1}{6}& \frac{1}{6}\end{array}\right]$

 Por lo tanto, si queremos obtener la probabilidad de llegar a cada casilla en una cantidad "n" de tiros:

$\pi_{n} = \pi_{0} \times P^{n} = ( \frac{1}{6}; \frac{2}{6}; \frac{2}{6}; \frac{1}{6}) \times \left[\begin{array}{cccc} \frac{1}{6} & \frac{2}{6}& \frac{2}{6}& \frac{1}{6}\\ \frac{1}{6}& \frac{1}{6}& \frac{2}{6}& \frac{2}{6}\\ \frac{2}{6}& \frac{1}{6}& \frac{1}{6}& \frac{2}{6}\\ \frac{2}{6}& \frac{2}{6}& \frac{1}{6}& \frac{1}{6}\end{array}\right]^{n}$

 Por último, si quisiérmos saber el monto a obtener según las probabilidades de caer en cada casilla en una cantidad n de tiros, deberíamos hacer la sumatoria para cada tiro del producto escalar entre cada vector de probabilidades y el vector de valores de cada casilla, es decir:

$\sum_{1\le m\le n}(\pi_{0} \times P^{m})\cdot(4;-2;-6;9)$

 Saludos!