4. Un estudiante está desarrollando su tarea y encuentra el siguiente problema: "Si la suma de
tres números en progresión geométrica creciente es 21 y su producto 216, cuáles serían
esos números?
Respuestas a la pregunta
Los tres números en forma creciente que están en progresión geométrica son:
3, 6 y 12
Una progresión geométrica es una sucesión que se caracteriza por obtener los términos al multiplicar el anterior por una constante r:
aₙ = a₁ · rⁿ⁻¹
a₁
a₂ = a₁ · r²⁻¹ = a₁ · r¹
a₃ = a₁ · r³⁻¹ = a₁ · r²
S₃ = a₁ + a₂ + a₃
S₃ = a₁ + a₁ · r¹ + a₁ · r²
S₃ = a₁ + a₁ · r + (a₁ · r)r
siendo;
S₃ = 21
sustituir;
Suma:
21 = a₁ + a₁ · r + (a₁ · r)r
Producto:
(a₁) (a₁ · r¹) (a₁ · r²) = 216
a₁³ · r³ = 216
(a₁· r)³ = 216
Aplicar raíz cubica;
∛(a₁· r)³ = ∛216
(a₁· r) = 6
⇒ a₁ = 6/r
Sustituir;
21 = a₁ + 6 + 6r
21 - 6 = 6/r + 6r
15r = 6 + 6r²
6r² - 15r + 6 = 0
Aplicar la resolvente;
r₁,₂ = -b±√(b²-4ac)/2a
siendo;
- a = 6
- b = -15
- c = 6
sustituir;
r₁,₂ = 15±√(15²-4(6)(6))/2(6)
r₁,₂ = 15±√(81)/12
r₁,₂ = 15±9/12
r₁ = 2; r₂ = 1/2
Evaluar;
Para: r₁ = 2;
a₁ = 6/2
a₁ = 3
Números:
a₂ = a₁ · r¹
a₂ = 6
a₃ = a₁ · r²
a₃ = (3)(2)²
a₃ = 12
En forma creciente: 3, 6, 12
Para: r₂ = 1/2
a₁ = 6/(1/2)
a₁ = 12
Números:
a₂ = a₁ · r¹
a₂ = 6
a₃ = a₁ · r²
a₃ = (12)(1/2)²
a₃ = 3
En forma decreciente: 12, 6, 3
Respuesta:
Explicación paso a paso:
