Question

4. Si: sen2x.Secy a) 4 2x 2x y c²(²x + y ) + csc²³(²x + x) 3 2 d) 5 e) 10 = 1; calcula : P = csc²| b) 6 c) 8​

Answer 1

El valor de la expresión trigonométrica en función de las cosecantes es igual a b) 6.

¿Cómo hallar el valor de la expresión trigonométrica?

Con la identidad trigonométrica planteada, podemos establecer una relación entre los ángulos 2x e 'y' a través de sus relaciones trigonométricas, recordando que la secante es la inversa del coseno:

$sen(2x).sec(y)=1\\\\sen(2x).\frac{1}{cos(y)}=1\\\\sen(2x)=cos(y)$

Lo que nos dice que tanto el ángulo 'y' como el ángulo 2x son ángulos agudos, y además son ángulos complementarios, o sea es 2x+y=90°.

Con esta relación entre los valores de 2x e 'y' podemos fácilmente calcular el valor de P dada su expresión en función de las cosecantes de los ángulos:

$P=csc^2(\frac{2x+y}{3})+csc^2(\frac{2x+y}{2})\\\\P=csc^2(\frac{90\°}{3})+csc^2(\frac{90\°}{2})=csc^2(30\°)+csc^2(45\°)$

Como la cosecante es la función recíproca del seno, la expresión anterior puede transformarse en la siguiente:

$P=\frac{1}{sen^2(30\°)}+\frac{1}{sen^2(45\°)}=\frac{1}{(\frac{1}{2})^2}+\frac{1}{(\frac{\sqrt{2}}{2})^2}\\\\P=6$

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