Question

4) Según informes de los supervisores de las zonas francas afirman que una determinada máquina está bajo control, si el porcentaje de artículos defectuosos que producen no es mayor de un 10%. Para determinar si la maquina este bajo control, se eligen 10 artículos al azar de entre los producidos por ella ¿Cuál es la probabilidad de exactamente 5 sean defectuosos? ¿Al menos 4 sean defectuosos? ¿A lo más 7 sean defectuosos? ¿Cuantos artículos esperaría encontrar?

Answer 1

Hay una probabilidad de  0.0015  de que exactamente  5  artículos en la muestra sean defectuosos.

Explicación:  

Vamos a considerar que cada artículo es independiente del resto y que vamos a realizar el experimento de conocer si es defectuoso o no. Esto se conoce como experimento aleatorio dicotómico (dos resultados) y se estudia por medio de la distribución binomial.  

Un experimento aleatorio que consiste de   n   ensayos repetidos tales que:  

1. Los ensayos son independientes,  

2. Cada ensayo tiene solo dos resultados posibles, denominados “éxito” y “fracaso”, y  

3. La probabilidad de éxito en cada ensayo, denotada por    p,    permanece constante recibe el nombre de experimento binomial.  

La variable aleatoria    X    es igual al número de ensayos donde el resultado es un éxito, tiene una distribución binomial con parámetros    p    y     n = 1, 2, 3, ...  

La Probabilidad de    X  =  x  es:

$\bold{P(X~=~x)~=~(\begin{array}{c}n\\x\end{array})\cdot p^x\cdot(1~-~p)^{(n~-~x)}}$

donde    $\bold{(\begin{array}{c}n\\x\end{array})}$    es el número combinatorio:

$\bold{(\begin{array}{c}n\\x\end{array})~=~\dfrac{n!}{(n~-~x)!~x!}}$

 

El valor esperado o Esperanza de X  =  E(X)  =  µ  =  n p

En el caso que nos ocupa definimos la variable aleatoria binomial  

X  =  Número de artículos defectuosos en la muestra

p  =  0,1 (10%)  

n  =  10

¿Cuál es la probabilidad de exactamente 5 sean defectuosos?

Se desea hallar la probabilidad de que x sea igual que 5:  

$\bold{P(x~=~5)~=~(\begin{array}{c}10\\5\end{array})\cdot(0.1)^5\cdot(1~-~0.1)^{(10~-~5)}~=~0.0015}$

Hay una probabilidad de  0.0015  de que exactamente  5  artículos en la muestra sean defectuosos.

¿Al menos 4 sean defectuosos?

Se desea hallar la probabilidad de que x sea igual que 4, 5, 6, 7, 8, 9  o  10.  Aunque por facilidad de cálculo, este tipo de situaciones se plantea en términos del evento complemento; es decir, la probabilidad que  x  no sea igual a:  0,  1,  2, o  3 

$\bold{P(x\geq 4)~=~1-P(x\leq 3)~=~1-P(x=0)-P(x=1)-P(x=2)-P(x=3)}$

$\bold{P(x~=~0)~=~(\begin{array}{c}10\\0\end{array})\cdot(0.1)^0\cdot(1~-~0.1)^{(10~-~0)}~=~0.3487}$

$\bold{P(x~=~1)~=~(\begin{array}{c}10\\1\end{array})\cdot(0.1)^1\cdot(1~-~0.1)^{(10~-~1)}~=~0.3874}$

$\bold{P(x~=~2)~=~(\begin{array}{c}10\\2\end{array})\cdot(0.1)^2\cdot(1~-~0.1)^{(10~-~2)}~=~0.1937}$

$\bold{P(x~=~3)~=~(\begin{array}{c}10\\3\end{array})\cdot(0.1)^3\cdot(1~-~0.1)^{(10~-~3)}~=~0.0574}$

$\bold{P(x\leq 5)~=~1-0.3487-0.3874-0.1937-0.0574~=~0.0128}$

Hay una probabilidad de  0.0128  de que al menos  4  artículos en la muestra sean defectuosos.

¿A lo más 7 sean defectuosos?

Se desea hallar la probabilidad de que x sea igual que 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 o 7. De nuevo el evento complemento es más sencillo de calcular, es decir, la probabilidad de que x no sea igual a: 8, 9 o 10 

$\bold{P(x\leq 7)~=~1-P(x\geq 8)~=~1-P(x=8)-P(x=9)-P(x=10)}$

$\bold{P(x~=~7)~=~(\begin{array}{c}10\\7\end{array})\cdot(0.1)^7\cdot(1~-~0.1)^{(10~-~7)}~=~0.0000087}$

$\bold{P(x~=~8)~=~(\begin{array}{c}10\\8\end{array})\cdot(0.1)^8\cdot(1~-~0.1)^{(10~-~8)}~=~0.0000003}$

$\bold{P(x~=~9)~=~(\begin{array}{c}10\\9\end{array})\cdot(0.1)^9\cdot(1~-~0.1)^{(10~-~9)}~=~0.00000}$

$\bold{P(x~=~10)~=~(\begin{array}{c}10\\10\end{array})\cdot(0.1)^10\cdot(1~-~0.1)^{(10~-~10)}~=~0.0000000}$

$\bold{P(x\leq 7)~=~1-0.0000087-0.0000003-0.00-0.00~=~0.999991}$

Hay una probabilidad de  0.999991  de que a lo más  7  artículos en la muestra sean defectuosos.

¿Cuantos artículos esperaría encontrar?

El valor esperado de  x  es

E(X)  =  µ  =  n p  =  (10)(0,1)  =  1  artículo defectuoso

Se esperaría hallar un artículo defectuoso en la muestra.