Question

4) Se desea construir un macetero en el frontis de un restaurante, como se muestra en la figura, que tenga 6 metros de largo. Determine el valor de x, de tal forma que el volumen sea máximo.

Answer 1

El volumen del macetero será máximo cuando  x  sea aproximadamente 1.73  metros.

Explicación paso a paso:

La función volumen (V) del macetero viene dada por el producto del área de la cara lateral en forma de trapecio y el largo. En la figura anexa se observa la fórmula de cálculo del volumen en función de x y h.

Para optimizar la función V necesitamos hallar el valor de h en función de x. Esto lo logramos despejando del Teorema de Pitágoras aplicado al triángulo rectángulo que forman x y h con la cara inclinada del macetero.

$\bold{(3.8)^2~=~(h)^2~+~(x)^2\qquad\Rightarrow\qquad h~=~\sqrt{14.44~-~x^2}}$

Entonces la función volumen del macetero es:

$\bold{V~=~6\cdot(2~+~x)\cdot\sqrt{14.44~-~x^2}}$

Esta es la función objetivo del estudio de optimización, en este caso maximización.

Los valores máximos y mínimos de una función se obtienen usando los criterios de primera y segunda derivada para extremos relativos.

Primero, hallamos el o los puntos críticos de la función. Esto es derivar  la función e igualar a cero. Los puntos que satisfacen esta ecuación son los puntos críticos de y.

$\bold{V’~=~6\cdot\sqrt{14.44~-~x^2}~+~6\cdot(2~+~x)\cdot\dfrac{-x}{\sqrt{14.44~-~x^2}}~=~\dfrac{6\cdot(14.44~-~2x~-~2x^2)}{\sqrt{14.44~-~x^2}}}$

$\bold{V'~=~0\qquad\Rightarrow\qquad~\dfrac{6\cdot(14.44~-~2x~-~2x^2)}{\sqrt{14.44~-~x^2}}~=~0\qquad\Rightarrow }$

$\bold{14.44~-~2x~-~2x^2~=~0\qquad\Rightarrow\qquad x~\approx~-5.96 \qquad x~\approx~1.73}$

Consideraremos solo el valor positivo, así que   x  aproximadamente  1.73  es el punto crítico o posible extremo de la función.

Segundo, hallamos la derivada de segundo orden que nos permitirá decidir si el punto crítico considerado es un máximo, segunda derivada negativa, o un mínimo, segunda derivada positiva.

$\bold{V''~=~\dfrac{6(-2-4x)\cdot\sqrt{14.44~-~x^2}~-~6\cdot(14.44-2x-2x^2)\cdot\dfrac{-x}{\sqrt{14.44-x^2}}}{(14.44-x^2)}}$

Tercero, evaluamos la segunda derivada en el punto crítico y aplicamos el criterio de decisión correspondiente.

$\bold{V''_{(1.73)}~<~0}$

x  =  1.73          es un máximo de la función  V.

El volumen del macetero será máximo cuando  x  sea aproximadamente 1.73  metros.

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