Matemáticas, pregunta formulada por Usuario anónimo, hace 1 mes

(4 puntos) Calcule los siguientes límites

lim┬(n→-2)⁡〖 (〖2n〗^2-n-10)/(〖3n〗^3+10n^2+8n)〗

(lim)┬(x→3) (2(√(x^2-2x+6)-√(x^2+2x-6) ))/(2x^2-8x+6)

Respuestas a la pregunta

Contestado por LeonardoDY
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El valor del primer límite planteado es 8/192, mientras que el segundo límite tiene un valor de 1/3.

¿Cómo hallar el primer límite planteado?

Si analizamos el límite cuya expresión es:

\lim_{n \to -2} \frac{(2n)^2-n-10}{(3n)^3+10n^2+8n}=\frac{4n^2-n-10}{27n^3+10n^2+8n}

Tanto el numerador como el denominador tienen límites finitos, esto lo hacemos reemplazando en la expresión el valor de 'n' al que tiende el límite, sabiendo que las funciones polinómicas son continuas para todos los reales. Con esto, el límite de la función es:

\lim_{n \to -2}\frac{4n^2-n-10}{27n^3+10n^2+8n}=\frac{4(-2)^2-(-2)-10}{27(-2)^3+10(-2)^2+8(-2)}=-\frac{8}{192}

¿Cómo hallar el segundo límite planteado?

La expresión del segundo límite planteado es la siguiente:

\lim_{n \to 3} \frac{2(\sqrt{n^2-2n+6}-\sqrt{n^2+2n-6})}{2n^2-8n+6}=

Aquí tanto el numerador como el denominador tienden a cero, por lo que es una indeterminación de tipo cero sobre cero. Podemos sacar factor común de 2 en el denominador y dividir por x al cuadrado tanto numerador como denominador:

\lim_{n \to 3} \frac{2(\sqrt{n^2-2n+6}-\sqrt{n^2+2n-6})}{2(n^2-4n+3)}=\lim_{n \to 3} \frac{\sqrt{n^2-2n+6}-\sqrt{n^2+2n-6}}{n^2-4n+3} \frac{\sqrt{n^2-2n+6}+\sqrt{n^2+2n-6}}{\sqrt{n^2-2n+6}-\sqrt{n^2+2n-6}}\\\\=\lim_{n \to 3} \frac{n^2-2n+6-n^2+2n-6}{(n^2-4n+3)(\sqrt{n^2-2n+6}+\sqrt{n^2+2n-6})}=\lim_{n \to 3}\frac{4n-12}{(n^2-4n+3)(\sqrt{n^2-2n+6}+\sqrt{n^2+2n-6})}

Seguimos teniendo la indeterminación, pero ahora podemos factorizar el numerador y el denominador:

\lim_{n \to 3}\frac{4n-12}{(n^2-4n+3)(\sqrt{n^2-2n+6}+\sqrt{n^2+2n-6})}=\lim_{n \to 3}\frac{4(n-3)}{(n-3)(n-1)(\sqrt{n^2-2n+6}+\sqrt{n^2+2n-6})}\\\\=\lim_{n \to 3}\frac{4}{(n-1)(\sqrt{n^2-2n+6}+\sqrt{n^2+2n-6})}

Reemplazando el valor de 'n' podemos hallar el límite:

\lim_{n \to 3}\frac{4}{(n-1)(\sqrt{n^2-2n+6}+\sqrt{n^2+2n-6})}=\frac{4}{(3-1)(\sqrt{3^2-2.3+6}+\sqrt{3^2+2.3-6})}=\frac{4}{12}=\frac{1}{3}

Aprende más sobre límites indeterminados en https://brainly.lat/tarea/21801307

#SPJ1

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