Question

4. Encuentra el ángulo que se forma entre las rectas L1: 8x + 3y + 12 = 0 L2: 4x - 5y +32 = 0, verifica tu resultado haciendo la representación gráfica de la recta. ​

Answer 1

El ángulo entre las dos rectas dadas es de aproximadamente 71.9°

Llevamos el problema al plano cartesiano

Donde dos rectas que se cortan entre sí determinan cuatro ángulos -donde dos pares de ellos serán iguales entre sí -

Al menor de tales ángulos se lo define como el ángulo entre dos rectas.

Se puede obtener el valor de este ángulo conociendo las respectivas pendientes de las rectas

Determinamos las pendientes de las rectas

Sea la recta L1

$\large\boxed {\bold { 8x + 3y+12= 0 }}$

Reescribimos la ecuación de la recta L1  en la forma pendiente punto de intercepción

También llamada forma principal o explícita

Que responde a la forma:

$\large\boxed {\bold { y = mx +b }}$

Donde m es la pendiente y b la intersección en Y

Resolvemos para y  

$\boxed {\bold { 8x +3y+12= 0 }}$  

$\boxed {\bold { 3y = -8x -12 }}$

$\boxed {\bold { \frac{\not 3y}{\not3} = -\frac{8x}{3} - \frac{12}{3} }}$

$\boxed {\bold { y= - \frac{8x}{3} -4 }}$

$\large\boxed {\bold { y= - \frac{8}{3}\ x -4 }}$

El coeficiente que acompaña a la x es la pendiente

Luego

Para L1 la pendiente es:

$\large\boxed{\bold {m_{1} =-\frac{8}{3} }}$

Hallamos la pendiente de la segunda recta

Sea la recta L2

$\large\boxed {\bold { 4x -5y +32= 0 }}$

Reescribimos la ecuación de la recta L2 en la forma pendiente punto de intercepción

También llamada forma principal o explícita

Que responde a la forma:

$\large\boxed {\bold { y = mx +b }}$

Donde m es la pendiente y b la intersección en Y

Resolvemos para y  

$\boxed {\bold { 4x -5y+32= 0 }}$

$\textsf{Multiplicamos la ecuaci\'on por -1}$

$\boxed {\bold { -4x +5y-32= 0 }}$

$\boxed {\bold { 5y = 4x +32 }}$

$\boxed {\bold { \frac{\not 5y}{\not 5} = \frac{4x}{5} + \frac{32}{5} }}$  

$\boxed {\bold { y= \frac{4x}{5} + \frac{32}{5} }}$

$\large\boxed {\bold { y= \frac{4}{5}\ x + \frac{32}{5} }}$

El coeficiente que acompaña a la x es la pendiente

Luego

Para L2 la pendiente es:

$\large\boxed{\bold {m_{2} =\frac{4}{5} }}$

Determinamos el ángulo entre rectas

Ya conocidas las pendientes de las dos rectas, a las que hemos denotado como m1 y m2

Para calcular el ángulo entre las dos rectas L1 y L2 empleamos la siguiente fórmula

$\large\boxed {\bold { tan (\alpha )= \left[\frac{m_{1}-m_{2} }{1 + m_{1}\ . \ m_{2} }\right] }}$

$\boxed {\bold { tan (\alpha )= \left[\frac{\left(-\frac{8}{3}\right) -\frac{4}{5} }{1 + \left(-\frac{8}{3}\right) \ . \ \left(\frac{4}{5}\right) }\right] }}$

$\boxed {\bold { tan (\alpha )=- \frac{-\frac{8}{3} -\frac{4}{5} }{1 +\left( -\frac{8}{3}\right) \ . \ \frac{4}{5} } }}$

$\boxed {\bold { tan (\alpha )=- \frac{-\frac{8}{3} \ .\ \frac{5}{5} -\frac{4}{5} \ . \ \frac{3}{3} }{1 +\left( -\frac{8}{3}\right) \ . \ \frac{4}{5} } }}$

$\boxed {\bold { tan (\alpha )= \frac{ - \frac{40}{15} -\frac{12}{15} } { 1 +\left( -\frac{32}{15}\right) } }}$

$\boxed {\bold { tan (\alpha )= \frac{ - \frac{52}{15} } { 1 - \frac{32}{15} } }}$

$\boxed {\bold { tan (\alpha )= \frac{ - \frac{52}{15} } { \frac{15}{15} - \frac{32}{15} } }}$

$\boxed {\bold { tan (\alpha )= \frac{ - \frac{52}{15} } { -\frac{17}{15} } }}$

$\boxed {\bold { tan (\alpha )=- \frac{52}{15} \ . \ -\frac{15}{17} }}$

$\boxed {\bold { tan (\alpha )=\frac{52}{15} \ . \frac{15}{17} }}$

$\boxed {\bold { tan (\alpha )= \frac{ 52}{\not15} \ . \ \frac{\not15}{17} }}$

$\boxed {\bold { tan (\alpha )= \frac{52}{17} }}$

$\textsf{Aplicamos tangente inversa para hallar el \'angulo }$

$\boxed {\bold { \alpha = arctan\left(\frac{52}{17}\right ) }}$

$\boxed {\bold { \alpha = 71.8963^o }}$

$\large\boxed {\bold { \alpha =71.9^o }}$

El ángulo entre las dos rectas dadas es de aproximadamente 71.9°

Se agrega como adjunto la representación gráfica solicitada donde se verifica el resultado obtenido