Question

4) El 6.° término de una progresión aritmética es 20 y el 11.° término es 50.
A. Halla la diferencia de la progresión.
B. Calcula la suma de los cien primeros términos.​

Answer 1

Respuesta:

- La diferencia es:  $d=6$

- La suma de los cien primeros terminos es:  $S_{100}=28700$

Explicación paso a paso:

Hallaremos la diferencia por medio de la interpolación de términos:

• Entre $a_6$ y $a_{11}$ hay 4 términos que sera igual a m = 4.

• $a_6=a=20$

• $a_{11}=b=50$

                                        $d=\cfrac{b-a}{m+1}$

Entonces:

                  $d=\cfrac{b-a}{m+1}\\\\d=\cfrac{50-20}{4+1}\\\\d=\cfrac{30}{5}\\\\d=6$

Ahora hallaremos el termino general:

                                        $a_n=a_k+(n-k)\cdot d\\\\ a_n=a_6+(n-6)\cdot 6\\\\a_n=20+(n-6)\cdot 6\\\\ a_n=20+6n-36\\\\a_n=6n-16$

Calcularemos $a_1$ y $a_{100}$ :

                $a_n=6n-16\\\\a_1=6(1)-16\\\\a_1=6-16\\\\a_1=-10$                                  $a_n=6n-16\\\\a_{100}=6(100)-16\\\\a_{100}=600-16\\\\a_{100}=584$

Por ultimo calculamos la suma de los cien primeros terminos:

             $S_n=\cfrac{(a_1+a_n)\cdot n}{2}\\\\S_{100}=\cfrac{(-10+584)\cdot 100~}{2}\\\\S_{100}=\cfrac{~574\cdot 100~}{2}\\\\S_{100}=\cfrac{~57400~}{2}\\\\S_{100}=28700$