Question

4. Dos barcos salen del mismo punto con direcciones que forman entre sí un ángulo de 38°si uno de los barcos lleva una velocidad de 45 km/h y el otro barco lleva una velocidad de 52 km/h ¿Cuál es la distancia que separa a los dos barcos después de dos horas de recorrido?

Answer 1

La distancia que separa a los dos barcos después de dos horas de recorrido es de aproximadamente 64.53 kilómetros

Se trata de un problema trigonométrico en un triángulo cualesquiera

Se representa la situación en un triángulo ABC: en donde el lado BC (a) y el lado AC (b) equivalen a las trayectorias respectivas realizadas por el barco A -que se desplaza a 45 kilómetros por hora- y el barco B -que navega a 52 kilómetros por hora-, donde ambos partieron del mismo punto -vértice C- , en diferentes direcciones las cuales forman entre sí un ángulo de 38°. Y el lado AB (c) es la distancia a la que se encuentran separadas ambas embarcaciones al cabo de dos horas de recorrido.

Donde se pide hallar la distancia que separa a los dos barcos después de dos horas de recorrido

Para determinar dicha distancia vamos a aplicar el teorema del coseno

¿Qué es el Teorema del Coseno?

El teorema del coseno, llamado también como ley de cosenos, es una generalización del teorema de Pitágoras en los triángulos.

El teorema relaciona un lado de un triángulo cualquiera con los otros dos y con el coseno del ángulo formado por esos dos lados.

El teorema del coseno dice:

Dado un triángulo ABC cualquiera siendo α, β y γ los ángulos, y a, b y c los lados respectivamente opuestos a estos ángulos,

Entonces se cumplen las relaciones:

$\large\boxed {\bold { a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 \ . \ b \ . \ c \ . \ cos(A ) }}$

$\large\boxed {\bold { b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 \ . \ a \ . \ c \ . \ cos(B ) }}$

$\large\boxed {\bold { c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 \ . \ a \ . \ b \ . \ cos(C ) }}$

Hallamos el valor de dos lados del triángulo

Por la ecuación de MRU

$\large\boxed {\bold { Distancia = Velocidad \ . \ Tiempo }}$

Hallamos las distancias recorridas por cada uno de los barcos después de dos horas de navegación

$\large\textsf{Barco A }\ \ \ \bold{V = 45\ \frac{km}{h} }$

$\boxed {\bold { Distancia \ Barco \ A = Velocidad \ . \ Tiempo }}$

$\bold { Distancia \ Barco \ A = 45 \ \frac{km}{\not h} \ . \ 2 \not h }$

$\boxed {\bold { Distancia \ Barco \ A = 90 \ km }}$

$\large\textsf{Barco B }\ \ \ \bold{V = 52 \ \frac{km}{h} }$

$\boxed {\bold { Distancia \ Barco \ B = Velocidad \ . \ Tiempo }}$

$\bold { Distancia \ Barco \ B = 52 \ \frac{km}{\not h} \ . \ 2 \not h }$

$\boxed {\bold { Distancia \ Barco \ B = 104 \ km }}$

Conocidas las magnitudes de dos de los lados del triángulo

$\bold{a = 90 \ km }$

$\bold{b = 104 \ km }$

Determinamos la distancia que separa a los barcos después de 2 horas de recorrido

La cual está dada por el lado faltante del triángulo el lado AB (c)

Conocemos el valor de dos lados del triángulo -que representan las trayectorias respectivas de cada uno de los barcos- y la dimensión del ángulo comprendido entre ellos, luego empleamos el teorema del coseno para determinar la distancia de separación entre los dos barcos al cabo de dos horas de recorrido

Por el teorema del coseno podemos expresar:

$\large\boxed {\bold { c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 \ . \ a \ . \ b \ . \ cos(\gamma ) }}$

$\large\boxed {\bold { c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 \ . \ a \ . \ b \ . \ cos(C ) }}$

$\large\textsf{Reemplazamos valores }$

$\boxed {\bold { c ^{2} = (90 \ km) ^{2} + ( 104 \ km) ^{2} - 2 \ . \ 90 \ km \ . \ 104\ km \ . \ cos(38^o) }}$

$\boxed {\bold { c ^{2} = 8100 \ km ^{2} + 10816 \ km^{2} - 18720 \ km^{2} \ . \ cos(38^o) }}$

$\boxed {\bold { c ^{2} = 18916 \ km^{2} - 18720 \ km^{2} \ . \ 0.788010753607 }}$

$\boxed {\bold { c ^{2} = 18916 \ km^{2} -14751.56130752304 \ km^{2} }}$

$\boxed {\bold { c ^{2} = 4164.43869247696 \ km^{2} }}$

$\boxed {\bold {\sqrt{ c ^{2} } = \sqrt{ 4164.43869247696 \ km^{2} } }}$

$\boxed {\bold {c = \sqrt{4164.43869247696 \ km^{2} } }}$

$\boxed {\bold { c \approx 64.53246\ km }}$

$\large\boxed {\bold { c \approx 64.53 \ km}}$

La distancia que separa a los dos barcos después de dos horas de recorrido es de aproximadamente 64.53 kilómetros

Se adjunta gráfico para mejor comprensión entre las relaciones entre los lados y los ángulos planteados