Question

4) DADOS LOS VECTORES U=(1,2,3), v=(2,0,1) y w=(-1,3,0) hallar: uXV =
2.2360
Atrás
N​

Answer 1

Respuesta:

Explicación:

Ejercicios y problemas propuestos

Página 141

Para practicar

Dependencia e independencia lineal. Base y coordenadas

1 Dados estos vectores:

u(1, –3, 2), v (2, 0, 1), w(5, –3, 4), z (–2, 6, – 4)

a) ¿Cuántos de ellos son linealmente independientes?

b) Expresa, si se puede, w como combinación lineal de u y v .

c) Expresa, si se puede, w como combinación lineal de u y z .

d)Calcula m para que el vector t (–1, m, 7) sea combinación lineal de u y v .

a) Como mucho puede haber 3 vectores linealmente independientes.

1

2

3

0

– = 6 ≠ 0 → Hay al menos dos vectores linealmente independientes.

A partir de este menor distinto de cero, buscamos los menores de orden 3 que lo contienen:

1

2

5

3

0

3

2

1

4

0 0

1

2

2

3

0

6

2

1

4

–

– –

–

–

= =

Como todos los menores de orden 3 son iguales a cero:

ran

1

2

5

2

3

0

3

6

2

1

4

– 4

–

–

–

f p = 2 → Hay 2 vectores linealmente independientes.

b) (5, –3, 4) = x (1, –3, 2) + y(2, 0, 1) →

x y

x

x y

2 5

3 3

2 4

– –

+ =

=

+ = * → x = 1, y = 2

w u = + 2v

c) (5, –3, 4) = x (1, –3, 2) + y(–2, 6, – 4) →

x y

x y

x y

2 5

3 6 3

2 4 4

–

– –

–

=

+ =

=

* → No tiene solución, luego no se puede.

d) (–1, m, 7) = x (1, –3, 2) + y(2, 0, 1) →

x y

x m

x y

2 1

3

2 7

–

–

+ =

=

+ = *

Para que tenga solución est sistema, el rango de la matriz ampliada tiene que ser 2:

m

1

3

2

2

0

1

1

7

–

–

= 0 → 3m + 45 = 0 → m = –15

Si m = –15, el vector t es combinación lineal de u y v .

Unidad 4. Vectores en el espacio BACHILLERATO

13

Matemáticas II

2 Comprueba que no es posible expresar el vector x (3, –1, 0) como combinación lineal de u(1, 2, –1) y

v (2, –3, 5).

¿Son linealmente independientes x , u y v ?

x u = + a bv → (3, –1, 0) = a (1, 2, –1) + b (2, –3, 5)

'

a b

a b

a b

A

3 2

1 2 3

0 5

1

2

1

2

3

5

3

1

0

– –

– –

– –

= +

=

= + 4 = f p

Como | A' | = 28 ≠ 0, el sistema es incompatible.

Luego no es posible expresar x como combinación lineal de u y v .

Como ran(A' ) = 3, los tres vectores son linealmente independientes.

3 Comprueba que cualquiera de los vectores a (1, 2, 3), b(2, 1, 3), c (1, 0, 1) puede expresarse

como C.L. de los otros dos.

a b = + x y c → (1, 2, 3) = x (2, 1, 3) + y(1, 0, 1)

x y

x

x y

y

x

y

1 2

2

3 3

3

2

3

–

–

= +

=

= +

=

=

=

4 4 Por tanto: a 2 = b – 3c

De aquí, también obtenemos que: b 2

1 a 2

3 c; c 3

–1 a 3

2 = + = + b

4 Determina m y n para que los siguientes conjuntos de vectores sean linealmente dependientes:

a) u(m, –3, 2), v (2, 3, m), w(4, 6, –4) b) u(3, 2, 5), v (2, 4, 7), w(1, –1, n)

a)

m

2 m

4

3

3

6

2

4

–

–

= – 6m

2 – 24m – 24 = – 6(m

2 + 4m + 4) = – 6(m + 2)2 = 0 → m = –2

Si m = –2, los vectores son linealmente dependientes.

b)

n

3

2

1

2

4

1

5

7

–

= 8n + 5 = 0 → n = 8

–5

Si n = 8

–5 , los vectores son linealmente dependientes.