Question

4.- Calcule la velocidad inicial con la que se debe lanzar un proyectil con ángulo de lanzamiento de 15º para que acierte en el objetivo que se encuentra a 1000 m.​

Answer 1

La velocidad inicial del lanzamiento del proyectil debe ser de 140 metros por segundo (m/s)

Se trata de un problema de tiro parabólico que consiste en una composición de movimientos en dos dimensiones: uno horizontal sin aceleración, y el otro vertical con aceleración constante hacia abajo, debido a la fuerza de gravedad. Ambos movimientos poseen velocidad inicial y son independientes uno del otro.

Solución  

Cálculo de la velocidad inicial del proyectil

La ecuación de alcance máximo de un proyectil está dada por:

$\large\boxed {\bold { x_{max} =\frac{( V _{0})^{2} \ . \ sen (2 \theta) }{ g } }}$

Donde

$\bold { x_{max} } \ \ \ \ \textsf{Es el alcance m\'aximo del proyectil }$

$\bold { V_{0}} \ \ \ \ \ \ \textsf{ Es la velocidad inicial }$

$\bold { \theta } \ \ \ \ \ \ \ \ \ \textsf{Es el \'angulo de lanzamiento del proyectil }$

$\bold { g } \ \ \ \ \ \ \ \ \ \textsf{Es la gravedad }$

$\large \textsf{Despejamos para hallar la velocidad inicial }$

$\boxed {\bold { x_{max} \ . \ g \ =( V _{0})^{2} \ . \ sen (2 \theta ) }}$

$\boxed {\bold {( V _{0})^{2}= \frac{ x_{max} \ . \ g \ }{ sen (2 \theta ) } }}$

$\large\boxed {\bold {V _{0}=\sqrt{ \frac{ x_{max} \ . \ g \ }{ sen (2 \theta )} } }}$

$\bold \ \textsf{Considerando el valor de la gravedad } \bold {9.8 \ \frac{m}{s^{2} } }$

$\large \textsf{Reemplazamos y resolvemos }$

$\boxed {\bold {V _{0}=\sqrt{ \frac{ 1000 \ m \ . \ 9.8 \ \frac{m}{s^{2} } }{ sen (2 \ 15^o )} } }}$

$\boxed {\bold {V _{0}=\sqrt{ \frac{ 9800 \ \frac{m^{2} }{s^{2} } }{ sen (30^o )} } }}$

$\large \textsf{El valor exacto de sen de 30 grados es de }\bold{ \frac{1}{2} = 0.5}$

$\boxed {\bold {V _{0}=\sqrt{ \frac{ 9800 \ \frac{m^{2} }{s^{2} } }{ 0.5} } }}$

$\boxed {\bold {V _{0}=\sqrt{19600\ \frac{m^{2} }{s^{2} } } }}$

$\large\boxed {\bold {V _{0}= 140 \ \frac{m }{s } }}$

La velocidad inicial del lanzamiento del proyectil debe ser de 140 metros por segundo (m/s)

Aunque el enunciado no lo pida:

Hallamos el tiempo de vuelo

La ecuación del tiempo de vuelo de un proyectil está dada por:

$\large\boxed {\bold { t_{V} =\frac{2 \ V _{0} \ . \ sen \ \theta }{ g } }}$

Donde

$\bold { t_{v} } \ \ \ \ \ \ \ \ \textsf{Es el tiempo de vuelo del proyectil }$

$\bold { V_{0}} \ \ \ \ \ \ \textsf{ Es la velocidad inicial }$

$\bold { \theta } \ \ \ \ \ \ \ \ \ \textsf{Es el \'angulo de lanzamiento del proyectil }$

$\bold { g } \ \ \ \ \ \ \ \ \ \textsf{Es la gravedad }$

Dado que en el inciso anterior hallamos la velocidad inicial del lanzamiento

$\large \textsf{Reemplazamos y resolvemos }$

$\boxed {\bold { t _{v} =\frac{2 \ . \ (140 \ \frac{m}{s} ) \ . \ sen \ (15^o) }{9.8 \ \frac{m}{s^{2} } } }}$

$\boxed {\bold { t _{v} =\frac{280 \frac{\not m}{\not s} \ . \ 0.258819045103 }{9.8 \ \frac{\not m}{s^{\not 2} } } }}$

$\boxed {\bold { t _{v} =\frac{280 \ . \ 0.258819045103 }{9.8 \ } \ segundos }}$

$\boxed {\bold { t _{v} =\frac{72.46933262884 }{9.8 \ } \ segundos }}$

$\boxed {\bold { t _{v} =7.39482986 \ segundos }}$

$\large\boxed {\bold { t _{v} =7.395 \ segundos }}$

El tiempo de vuelo del proyectil es de 7.395 segundos

Determinamos la altura máxima

La altura máxima que alcanza un proyectil está dada por

$\large\boxed {\bold { H_{max} =\frac{( V_{0})^{2} \ . \ sen^{2} \theta }{2 \ . \ g } }}$

Donde

$\bold { H_{max} } \ \ \ \ \textsf{Es la altura m\'axima del proyectil }$

$\bold { V_{0}} \ \ \ \ \ \ \ \textsf{ Es la velocidad inicial }$

$\bold { \theta } \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \textsf{Es el \'angulo de lanzamiento del proyectil }$

$\bold { g } \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \textsf{Es la gravedad }$

Empleamos el valor de la velocidad inicial del lanzamiento hallada en el primer inciso

$\large \textsf{Reemplazamos y resolvemos }$

$\boxed {\bold { H_{max} =\frac{(140 \ \frac{m}{s} )^{2} \ . \ sen^{2} \ (15^o) }{2 \ . \ 9,8 \ \frac{m}{s^{2} } } }}$

$\boxed {\bold { H_{max} =\frac{19600\ \frac{m^{\not 2} }{\not s^{2} } \ . \ (0.258819045103 )^{2} }{ 19.6\ \frac{\not m}{\not s^{2} } } }}$

$\boxed {\bold { H_{max} =\frac{19600 \ . \ 0.0669872981080287 }{ 19.6\ } \ metros }}$

$\boxed {\bold { H_{max} =\frac{1312.95104291736252 }{ 19.6\ } \ metros }}$

$\boxed {\bold { H_{max} = 66.987298\ metros }}$

$\large\boxed {\bold { H_{max} = Y_{max} = 67\ metros }}$

La altura máxima que alcanza el proyectil es de 67 metros

Se adjunta gráfico que evidencia la trayectoria del movimiento