Question

4. Calcular el punto equidistante a los puntos A, B y C:
A (-5,-2); B (-1, 8); C (4, 1).

Realizar la figura e indicar el punto equidistante a los puntos dados

Answer 1

Un punto equidistante, es que las distancias:


AD = BD


AD = CD


BD = CD


Empleando las ecuaciones de distancia entre dos puntos: AD = BD


√(x + 5)^2 + (y + 2)^2 = √(x + 1)^2 + (y - 8)^2     


(x + 5)^2 + (y + 2)^2 = (x + 1)^2 + (y - 8)^2  ; (se eleva al cuadrado ambas partes de la ecuación)


x^2 + 10x + 25 + y^2 + 4y + 4 = x^2 + 2x + 1 + y^2 - 16y + 64 ; (se aplica el producto notable)


10x - 2x + 4y + 16y + 29 - 65 = 0  


8x + 20y - 36 = 0    (1)


Empleando las ecuaciones de distancia entre dos puntos: BD = CD


√(x + 1)^2 + (y - 8)^2 = √(x - 4)^2 + (y - 1)^2


(x + 1)^2 + (y - 8)^2 = (x - 4)^2 + (y - 1)^2  ; (Aplicando elevación al cuadrado en ambos lados de la ecuación. Se eliminan las raíces cuadradas)


x^2 + 2x + 1 + y^2 - 16y + 64 = x^2 - 8x + 16 + y^2 - 2y + 1  ; (Aplicando el producto notable)


2x - 16y + 65 + 8x - 17 + 2y = 0  ; (Suma de términos algebraicos)


10x - 14y + 48 = 0 ;  (2)


De (1), despejando x:


x = (36 - 20y) / 8


Sustituyendo en (2)


10 * [(36 - 20y) / 8] - 14y + 48 = 0


(5/4) (36 - 20y) - 14y + 48 = 0  ; (Simplificación de 10/8 = 5/4)


5*(9 - 5y) - 14y + 48 = 0


45 - 25y - 14y + 48 = 0


93 - 39y = 0 


93 = 39y


y = 93 / 39


y = 31/ 13


Sustituyendo en (1)


x = [36 - 20(31/13) ] / 8


x = [36 - 620/13] / 8


x = (468 - 620) / (13*8)


x = -152 / 104


x = -76 / 52 = -38 / 26 = -19 / 13


D(-19/13 ; 31/13)