4. (4 puntos) Un restaurante ha estimado que su ecuación de demanda es de x = 80 - 4p platos de comida diaria. Asimismo, el costo total en función del precio es de C = 400- 20p. En base a la información proporcionada, determine: a) La utilidad como una función del precio de venta "p". b) El precio de venta que genera una utilidad máxima y halle dicha utilidad máxima. c) Trace la gráfica de la función utilidad, ubicando el vértice y los puntos de corte con el eje "p".
Respuestas a la pregunta
- La utilidad como una función del precio de venta "p" viene representada por U(p) = - 4p² + 100p - 400.
- La utilidad máxima es de 225.
- La gráfica de la función utilidad la observamos en la imagen adjunta.
¿Qué es la utilidad?
En términos generales, la utilidad no es más que los ingresos menos los costos. Esto expresado matemáticamente es:
Utilidad = Ingresos - Costos
Resolviendo:
- a) La utilidad como una función del precio de venta "p".
Procedemos a sustituir valores en la expresión matemática de la utilidad.
U(p) = (80 - 4p)p - (400 - 20p)
U(p) = 80p - 4p² - 400 + 20p
U(p) = - 4p² + 100p - 400
Concluimos que la utilidad como una función del precio de venta "p" viene representada por U(p) = - 4p² + 100p - 400.
- b) El precio de venta que genera una utilidad máxima y halle dicha utilidad máxima.
Para hallar la utilidad máxima debemos primero derivar.
U'(p) = - 8p + 100
Ahora igualamos a cero y despejamos p:
- 8p + 100 = 0
8p = 100
p = 100/8
p = 12.5
Ahora sustituimos en la ecuación de utilidad.
U(12.5) = - 4(12.5)² + 100(12.5) - 400
U(12.5) = - 4*156.25+ 1250 - 400
U(12.5) = - 625 + 1250 - 400
U(12.5) = 225
Concluimos que la utilidad máxima es de 225.
- c) Trace la gráfica de la función utilidad, ubicando el vértice y los puntos de corte con el eje "p".
La gráfica de la función utilidad la observamos en la imagen adjunta.
Si deseas tener más información acerca de utilidad, visita:
https://brainly.lat/tarea/13207016
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