Question

36x a la quinta+9ײ÷3×

Answer 1

Para desarrollar un binomio, podemos aplicar uno de los siguientes patrones.

(\blueD a+\greenD b)^2=\blueD a^2+2\blueD a\greenD b+\greenD b^2(a+b)

2

=a

2

+2ab+b

2

left parenthesis, start color #11accd, a, end color #11accd, plus, start color #1fab54, b, end color #1fab54, right parenthesis, squared, equals, start color #11accd, a, end color #11accd, squared, plus, 2, start color #11accd, a, end color #11accd, start color #1fab54, b, end color #1fab54, plus, start color #1fab54, b, end color #1fab54, squared

(\blueD a-\greenD b)^2=\blueD a^2-2\blueD a\greenD b+\greenD b^2(a−b)

2

=a

2

−2ab+b

2

left parenthesis, start color #11accd, a, end color #11accd, minus, start color #1fab54, b, end color #1fab54, right parenthesis, squared, equals, start color #11accd, a, end color #11accd, squared, minus, 2, start color #11accd, a, end color #11accd, start color #1fab54, b, end color #1fab54, plus, start color #1fab54, b, end color #1fab54, squared

¿De dónde vienen estos patrones?

Observa que en los patrones, aaa y bbb pueden ser cualquier expresión algebraica. Por ejemplo, supón que queremos desarrollar (x+5)^2(x+5)

2

left parenthesis, x, plus, 5, right parenthesis, squared. En este caso, \blueD{a}=\blueD xa=xstart color #11accd, a, end color #11accd, equals, start color #11accd, x, end color #11accd y \greenD b=\greenD5b=5start color #1fab54, b, end color #1fab54, equals, start color #1fab54, 5, end color #1fab54, y entonces obtenemos:

\begin{aligned}(\blueD x+\greenD 5)^2&=\blueD x^2+2(\blueD x)(\greenD5)+(\greenD 5)^2\\\\ &=x^2+10x+25\end{aligned}

(x+5)

2

=x

2

+2(x)(5)+(5)

2

=x

2

+10x+25

Puedes revisar este patrón si multiplicas para desarrollar (x+5)^2(x+5)

2

left parenthesis, x, plus, 5, right parenthesis, squared. ¡Me gustaría ver esta expansión, por favor!

El inverso de este proceso de desarrollo es una forma de factorización. Si volvemos a escribir las ecuaciones en el orden inverso, tendremos patrones para factorizar polinomios de la forma a^2\pm2ab+b^2a

2

±2ab+b

2

a, squared, plus minus, 2, a, b, plus, b, squared.

\blueD a^2+2\blueD a\greenD b+\greenD b^2~=(\blueD a+\greenD b)^2a

2

+2ab+b

2

=(a+b)

2

start color #11accd, a, end color #11accd, squared, plus, 2, start color #11accd, a, end color #11accd, start color #1fab54, b, end color #1fab54, plus, start color #1fab54, b, end color #1fab54, squared, space, equals, left parenthesis, start color #11accd, a, end color #11accd, plus, start color #1fab54, b, end color #1fab54, right parenthesis, squared

\blueD a^2-2\blueD a\greenD b+\greenD b^2~=(\blueD a-\greenD b)^2a

2

−2ab+b

2

=(a−b)

2

start color #11accd, a, end color #11accd, squared, minus, 2, start color #11accd, a, end color #11accd, start color #1fab54, b, end color #1fab54, plus, start color #1fab54, b, end color #1fab54, squared, space, equals, left parenthesis, start color #11accd, a, end color #11accd, minus, start color #1fab54, b, end color #1fab54, right parenthesis, squared

Podemos aplicar el primer patrón para factorizar x^2+10x+25x

2

+10x+25x, squared, plus, 10, x, plus, 25. Aquí tenemos \blueD a=\blueD xa=xstart color #11accd, a, end color #11accd, equals, start color #11accd, x, end color #11accd y \greenD b=\greenD 5b=5start color #1fab54, b, end color #1fab54, equals, start color #1fab54, 5, end color #1fab54.

\begin{aligned}x^2+10x+25&=\blueD x^2+2(\blueD x)(\greenD5)+(\greenD 5)^2\\\\ &=(\blueD x+\greenD 5)^2\end{aligned}

x

2

+10x+25

=x

2

+2(x)(5)+(5)

2

=(x+5)

2

Las expresiones de esta forma se llaman trinomios cuadrados perfectos. ¡El nombre refleja el hecho de que este tipo de polinomios de tres términos se puede expresar como un cuadrado perfecto!

Veamos unos cuantos ejemplos en los que factorizamos trinomios cuadrados perfectos usando este patrón.

Ejemplo 1: factorizar x^2+8x+16x

2

+8x+16x, squared, plus, 8, x, plus, 16

Observa que el primero y el último término son cuadrados perfectos: x^2=(\blueD x)^2x

2

=(x)

2

x, squared, equals, left parenthesis, start color #11accd, x, end color #11accd, right parenthesis, squared y 16=(\greenD4)^216=(4)

2

16, equals, left parenthesis, start color #1fab54, 4

2

+2ab+b

2

x

2

+8x+16

=(x)

2

+2(x)(4)+(4)

2

=(x+4)

2

Podemos revisar nuestro trabajo al desarrollar (x+4)^2(x+4)

2

left parenthesis, x, plus, 4, right parenthesis, squared:

\begin{aligned}(x+4)^2&=(x)^2+2(x)(4)+(4)^2\\ \\ &=x^2+8x+16 \end{aligned}

(x+4)

2

=(x)

2

+2(x)(4)+(4)

2

=x

2

+8x+16