Question

33 Halla todos los divisores de estos números
y averigua cuáles son primos.
a) 18
d) 80
b) 31
e) 79
c) 32
f) 37
g) 42
h) 41
i) 96

Answer 1

Respuesta:

En muchos problemas es necesario saber si el reparto de varios elementos en diferentes grupos se puede

hacer equitativamente, es decir, si el número de elementos dividido entre el número de grupos sería una

división entera con resto o sin resto. Caso de que al dividir un número entero n entre otro número entero

d, la división sea exacta sin resto, diremos que n es múltiplo de d, que n es divisible entre d, que d es

divisor de n, o que d divide a n. En este caso, existe un tercer entero (cociente) c, tal que n=c×d. En

general, aplicamos la divisibilidad a números enteros, pudiendo ser positivos o negativos. Por ejemplo,

45 es divisible entre 15, y −33 divide a 198, siendo los cocientes respectivos 3 y −6. La divisibilidad

tiene las siguientes propiedades:

• Reflexiva: para todo entero n, n divide a n (con cociente 1).

• Transitiva: si a divide a b, y b divide a c, entonces a divide a c.

• Valor absoluto: a divide a b si y sólo si |a| divide a |b|.

• Si a divide a b, entonces |a|≤|b|.

• Si a divide a b y b divide a a, entonces a=b o a=−b (en cualquier caso |a|=|b|).

Los enteros positivos p tales que sólo son divisibles por 1, −1, p y −p se llaman números primos, y son

especialmente interesantes como veremos más adelante. Los números primos en orden creciente son 2, 3,

5, 7, 11, 13, 17,... (el 1 es un caso especial que no se suele considerar primo).

Algunas reglas sencillas sobre divisibilidad

El que un número sea divisible entre 2, 3, 4, 5, 8, 9, 10 u 11 es relativamente sencillo de comprobar. Un

número entero cualquiera n:

• es divisible entre 2 si y sólo si su última cifra es par,

• es divisible entre 3 si y sólo si la suma de las cifras de n es múltiplo de 3,

• es divisible entre 4 si y sólo si su última cifra es par pero no múltiplo de 4, y su penúltima cifra es

impar, o si su última cifra es múltiplo de 4 y su penúltima cifra es par (o equivalentemente, si el

número formado por sus dos últimas cifras es divisible entre 4),

• es divisible entre 5 si y sólo si su última cifra es 0 o 5,

• es divisible entre 8 si y sólo si sus el número formado por sus tres últimas cifras es múltiplo de 8,

• es divisible entre 9 si y sólo si la suma de las cifras de n es múltiplo de 9,

• es divisible entre 10 si y sólo si su última cifra es 0,

• es divisible entre 11 si y sólo si la suma de sus cifras en posición par, menos la suma de sus cifras

en posición impar, es múltiplo de 11 (incluido el 0).

Ilustramos el último caso con un ejemplo: el número 164151324116 no es múltiplo de 11, porque

sumando las cifras de posición impar (1+4+5+3+4+1=18), y las cifras de posición impar

(6+1+1+2+1+6=17), la diferencia es 1, que no es múltiplo de 11. Sin embargo, el número 164151324161

sí sería múltiplo de 11 (1+4+5+3+4+6=23, 6+1+1+2+1+1=12, y 23−12=11, que sí es múltiplo de 11).

Cuando las reglas anteriores no valen

Si nos toca dividir un entero entre uno de los números anteriores, no es complicado ver a priori si la

división tendrá resto 0 o no, pero nos puede tocar dividir entre un número “sin regla simple”, como 7, 13,

47, o 2010. ¿Qué hacemos en un caso como éste? En el caso de los números 7, 13 o 47, poco podemos

hacer en general, salvo realizar la división y ver si da resultado exacto. En el caso del 2010, podemos

aplicar el siguiente razonamiento: como 2010=2×3×5×67, podemos ver que si el número es divisible entre

10 (mirando su última cifra) y también es divisible entre 3 (sumando sus cifras y viendo si esta suma es

divisible entre 3). Caso de que el número no sea divisible por 3 o por 10, hemos acabado: el número no

será divisible por 2010. Caso de que sí sea divisible por 3 y por 10, nos bastaría entonces comprobar si es

divisible por 67, y en caso afirmativo, el número sería divisible por 2010.

¿Por qué funciona el método anterior? Los números 2, 3, 5 y 67 tienen en común que son primos, es

decir, que no tienen más divisores positivos que 1 y ellos mismos. Es conocido que todo número entero

se puede expresar de una única manera como producto de primos (salvo la forma de ordenarlos), por

ejemplo, 2010=2×3×5×67, y no podemos escribirlo de otra forma salvo si cambiamos el orden de los

cuatro factores. A esta forma de escribir un número lo llamamos descomposición en producto de factores

primos, descomposición en factores primos, o factorización del número. Una vez que hemos expresado

un número n como producto de factores primos, si dicho factor primo aparece en la expresión, entonces

divide al número n, y si no aparece, no lo divide. Entonces, dados un número d y otro número n, si

expresamos tanto d como n, como producto de factores primos de la única forma en la que puede hacerse,

entonces d divide a n (o n es múltiplo de d) si y sólo si, todos los primos que aparecen en la

descomposición de d, aparecen también, y por lo menos el mismo número de veces, en la descomposición

de n. Así, 64=26