Question

3) uno de los extremos de un segmento rectilineo de longitud 5 es el punto (3,-2). si la abscisa de otro extremo es 6 hallar su ordenada. (dos soluciones )
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Answer 1

El punto extremo B tiene a 2 y a -6 como valores de ordenada (y), por tanto se obtienen los puntos extremos B (6, 2) y B (6, -6) que satisfacen al ejercicio propuesto

Solución

Sabemos que la longitud del segmento rectilíneo es 5 y las coordenadas de uno de sus puntos extremos está dado por el punto A (3,-2) y el otro extremo tiene de coordenadas B (6, y)

Luego debemos obtener el valor de la ordenada del punto extremo B sabiendo que el valor de la abscisa del otro extremo es 6

Empleamos la fórmula de la distancia entre dos puntos para determinar la coordenada desconocida

$\large\boxed{ \bold { Distancia = \sqrt{(x_{2} - x_{1} )^{2} +(y_{2} -y_{1} )^{2} } } }$

Donde conocemos

$\large \textsf{A (3, -2)} \ \ \bold{(x_{1} , y_{1} ) }$

$\large \textsf{B (6, y)} \ \ \bold{(x_{2} , y_{2} ) }$

$\large \textsf{Distancia = Longitud Segmento = 5 }$

Luego se tiene

$\large\boxed{ \bold { Longitud \ Segmento = \sqrt{(x_{2} - x_{1} )^{2} +(y_{2} -y_{1} )^{2} } } }$

$\large \textsf{ Sustituimos los valores conocidos en la f\'ormula de la distancia }$

Donde debemos hallar la coordenada desconocida

$\large \textsf{Reemplazamos y resolvemos }$

$\boxed{ \bold { 5 = \sqrt{(6-3 )^{2} +(y -(-2))^{2} } } }$

$\boxed{ \bold { 5 = \sqrt{(6-3)^{2} +(y+2 )^{2} } } }$

$\boxed{ \bold { 5 = \sqrt{(3 )^{2} + (y+2 )^{2} } } }$

$\boxed{ \bold { 5 = \sqrt{9 + (y+2 )^{2} } } }$

$\boxed{ \bold { 5 = \sqrt{9+y^{2}+4y+4 } } }$

$\boxed{ \bold { 5 = \sqrt{y^{2}+4y +13 } } }$

$\boxed{ \bold {( 5)^{2} =\left( \sqrt{y^{2}+4y +13 }\right )^{2} } }$

$\boxed{ \bold { 25 = y^{2}+4y +13 } }$

$\boxed{ \bold { y^{2}+4y+13 -25 = 0 } }$

$\large\boxed{ \bold { y^{2}+4y-12 = 0 } }$

$\large\textsf{Tenemos una ecuaci\'on de segundo grado }$

La cual resolvemos empleando la fórmula cuadrática

$\large\textsf{F\'ormula cuadr\'atica }$

$\boxed{ \bold{ \frac{ -b\pm \sqrt{ b^2 - 4ac } }{2a} }}$

$\textsf {Sustituimos los valores de a = 1, b = 4 y c = - 12 }$

$\large\textsf{Resolvemos para y para hallar los valores de la coordenada desconocida }$  

$\boxed{ \bold{y = \frac{ -4 \pm \sqrt{ 4^2 - 4\ . \ (1 \ . \ -12) } }{2 \ . \ 1} }}$

$\boxed{ \bold{y = \frac{ -4 \pm \sqrt{16- 4\ . \ -12 } }{2 } }}$

$\boxed{ \bold{y = \frac{ -4 \pm \sqrt{16\ + \ 48 } }{2 } }}$

$\boxed{ \bold{y = \frac{ -4 \pm \sqrt{64 } }{2 } }}$

$\boxed{ \bold{y = \frac{ -4 \pm\sqrt{8^{2} } }{2 } }}$

$\boxed{ \bold{y = \frac{ -4 \pm 8 }{2 } }}$

$\textsf{Simplificamos }$

$\boxed{ \bold{y = -2\pm4 }}$

$\large\textsf{La respuesta final es la combinaci\'on de ambas soluciones }$  

$\large\boxed{ \bold{y = 2 , -6 }}$

$\large\textsf {Se toman los dos valores de y para la coordenada desconocida }$

Por tanto hay 2 valores para la ordenada del punto B que son ambas soluciones válidas

Teniendo

$\large\boxed{ \bold{y_{2} = 2 \ \ \ \ y_{2} = -6 }}$

Por tanto se obtienen 2 soluciones para el punto extremo B

Obteniendo

$\large \textsf{B (6, 2)}$

$\large \textsf{B (6, -6)}$

Concluyendo que el punto extremo B tiene a 2 y a -6 como valores de ordenada por tanto se obtienen los puntos extremos B (6.,2) y B (6, -6)  que satisfacen al ejercicio propuesto

Se agrega gráfico para mejor compresión del ejercicio planteado