Question

3.- ¿Una persona observa la parte más alta de la torre Eiffel, si dicha persona se encuentra a 187 mts
y debe levantar 60° su cabeza, ¿cuál es la altura de la torre?
a) 343. 05 m
b) 333.89 m
х
c) 323.89 m
d) 325 m
60°
187 mt​

Answer 1

La altura de la Torre Eiffel es de 187√3 metros o de aproximadamente 323.89 metros

La opción correcta es la c

Se trata de un problema de razones trigonométricas en triángulos rectángulos.

Las razones trigonométricas de un ángulo α son las razones obtenidas entre los tres lados de un triángulo rectángulo.

Con la salvedad que el triángulo dado resulta ser lo que se llama un triángulo notable.      

¿Qué son los triángulos notables?

Los triángulos notables son triángulos rectángulos que tienen ciertas características establecidas que permiten encontrar los lados de un triángulo sin utilizar el teorema de Pitágoras o las razones trigonométricas.

Los triángulos notables son figuras geométricas que poseen en sus vértices ángulos notables, por lo tanto las magnitudes de sus lados pueden ser calculadas gracias a dichos ángulos notables y estableciendo una relación entre los lados.

Los triángulos notables utilizan proporciones entre las relaciones de los lados y los ángulos de un triángulo rectángulo. Los lados de un triángulo no se pueden encontrar si se saben sólo los ángulos del triángulo, pero lo que sí se puede definir son las proporciones que los lados tendrán.  

En estos triángulos se utiliza la letra “k” indicando que es una proporción entre sus lados.

Y esa letra k a la vez es una constante, que conocida permite hallar los lados de un triángulo notable con facilidad

Existen varios triángulos notables muy usados y conocidos y sumamente empleados en la resolución de problemas matemáticos, geométricos y sus relacionados. Pero no es la intención de hablar aquí de ellos.

Sólo mencionaremos el que se relaciona con el problema propuesto.

• El cual dentro de los triángulos notables es el llamado 30-60 (por sus ángulos)

• Este triángulo tiene un ángulo de 30° y otro de 60°, donde el lado opuesto al ángulo de 30° medirá 1k y el lado opuesto al ángulo de 60° medirá k√3 y la hipotenusa medirá 2k (o el doble de lo que mida el primer lado)

Esto se puede observar en al gráfico adjunto

Representamos la situación en un triángulo rectángulo ABC  el cual está conformado por el lado BC (a) que equivale a la altura de la Torre Eiffel, el lado AC que representa la distancia del observador a la torre y el lado AC que es la longitud visual a la cima de la torre con un ángulo de elevación de 60°

Solución

Método 1

Razones trigonométricas con ángulos notables

Conocemos

• Distancia a la torre Eiffel = 187 metros

• Ángulo de elevación = 60°

• Debemos hallar la altura de la torre Eiffel

Si la tangente de un ángulo α se define como la razón entre el cateto opuesto y el cateto adyacente

Dado que conocemos el valor del cateto adyacente al ángulo (distancia a la torre), debemos hallar el cateto opuesto (altura de la torre), y asimismo tenemos un ángulo de elevación de 60°, relacionamos los datos que tenemos con la tangente del ángulo α

Como tenemos un ángulo notable

$\boxed{\bold { tan(60^o) = \sqrt{3} }}$

$\boxed{\bold { tan(60^o) = \frac{ cateto\ opuesto }{ cateto\ adyacente } } }$

$\boxed{\bold { tan(60^o) = \frac{ altura\ torre }{ distancia \ a \ la \ torre } } }$

$\boxed{\bold { altura\ torre \ Eiffel = distancia \ a \ la \ torre \ . \ tan(60^o) }}$

$\boxed{\bold { altura\ torre \ Eiffel= 187\ metros \ . \ tan(60^o) }}$

$\boxed{\bold { altura\ torre \ Eiffel= 187\ metros \ . \ \sqrt{3} }}$

$\large\boxed{\bold { altura\ torre \ Eiffel= 187 \sqrt{3}\ metros }}$

$\large\boxed{\bold { altura\ torre \ Eiffel= 323.89\ metros }}$

La altura de la Torre Eiffel es de 187√3 metros o de aproximadamente 323.89 metros

Método 2

Hallando el valor de la constante k

La distancia a la torre Eiffel es de 187 metros

Y al ser el lado adyacente al ángulo notable de 60° medirá 1k

Planteamos

$\boxed{\bold { distancia \ a \ la \ torre = 187 \ metros = 1k }}$

Despejamos a la constante k

$\boxed{\bold { 1k = 187 \ metros }}$

$\boxed{\bold { k = \frac{ 187 \ metros }{1} }}$

$\boxed{\bold { k = 187 }}$

El valor de la constante k es de 187

La altura de la torre Eiffel  es el lado opuesto al ángulo de 60° y mide k√3

Planteamos

$\boxed{\bold { altura\ torre \ Eiffel = k \sqrt{3} }}$

Reemplazamos el valor de la constante k

$\boxed{\bold { altura\ torre \ Eiffel = 187\ . \sqrt{3} }}$

$\large\boxed{\bold { altura\ torre \ Eiffel=187 \sqrt{3}\ metros }}$

$\large\boxed{\bold { altura\ torre \ Eiffel= 323.89\ metros }}$

Se arriba al mismo resultado

Answer 2

Respuesta:

c) 323.89

Explicación paso a paso:

tan 60°: x/187

x: 187(tan 60°)

x: 187 (1732)

x: 323.89