Question

3. Una mujer camina 5 km hacia el Este y después camina 10 km hacia el Norte, Aplique el método del polígono o
paralelogramo para hallar su desplazamiento resultante.

Answer 1

El desplazamiento resultante de la mujer es de 11.18 kilómetros en dirección Noreste con un ángulo de 63.43° respecto al Este

Los puntos cardinales son referencias geográficas que se utilizan para ubicarnos en la Tierra. Estas referencias se definen en base al eje de rotación: el sur y norte apuntan hacia los polos geográficos, mientras que el este y oeste en direcciones perpendiculares a este eje.

Siendo en el plano cartesiano el eje X también llamado eje de las abscisas representa la dirección este –oeste, y el eje Y llamado el eje de las ordenadas representa la dirección norte – sur

Donde tomamos donde la mujer empezó a desplazarse como centro de origen (0,0) en la intersección de los ejes de X e Y

Luego al estar dividido el plano cartesiano en cuatro cuadrantes, se toma el semieje positivo del eje X como la dirección Este y el semieje positivo del eje Y como la dirección Norte

Representamos el problema en el plano cartesiano

La mujer inicia su recorrido -partiendo del origen de coordenadas-avanzando hacia el Este 5 kilómetros, luego se dirige en dirección Norte recorriendo 10 kilómetros donde culmina su trayectoria de distancia

Hallamos el desplazamiento resultante realizado por la mujer

El desplazamiento resultante está dado por la distancia recorrida desde el punto inicial hasta el punto final de la trayectoria.

Donde el punto inicial es donde la mujer comenzó a desplazarse al iniciar su trayectoria y el punto final es donde la mujer se dirigió y terminó su recorrido de distancia

Luego determinamos la distancia en línea recta entre ambos puntos

Dado que las direcciones Este y Norte son perpendiculares hallamos el vector del desplazamiento resultante aplicando el teorema de Pitágoras

Por tanto la distancia en línea recta entre ambos puntos va a estar determinada por el valor de la hipotenusa que se obtiene del triángulo rectángulo, donde un cateto es el trayecto recorrido por la mujer en dirección Este y el otro cateto es el tramo recorrido por la mujer en dirección Norte

Hallando la hipotenusa del triángulo rectángulo habremos encontrado la distancia en línea recta desde el inicio hasta el final de la trayectoria, siendo esta distancia una resultante entre los dos trayectos realizados al Este y al Norte respectivamente

A esta distancia en línea recta desde el punto de partida hasta al punto en donde culminó su recorrido la mujer se la conoce como desplazamiento

Por lo tanto aplicamos el teorema de Pitágoras para hallar el módulo del desplazamiento efectuado por la mujer

$\large\boxed{ \bold {||\overrightarrow{D_{R} }|| =\sqrt{ (||\overrightarrow{D}_{1}|| )^{2} + (||\overrightarrow{D}_{2}|| )^{2} } } }$

$\boxed{ \bold { ||\overrightarrow{D_{R} }|| = \sqrt{(5 \ km )^{2} +(10 \ km)^{2} } } }$

$\boxed{ \bold { ||\overrightarrow{D_{R} }|| = \sqrt{25 \ km ^{2} +100 \ km^{2} } } }$

$\boxed{ \bold { ||\overrightarrow{D_{R} }|| = \sqrt{125 \ km ^{2} } } }$

$\boxed{ \bold { ||\overrightarrow{D_{R} }|| \approx11.18033 \ km } }$

$\textsf{Redondeando}$

$\large\boxed{ \bold { ||\overrightarrow{D_{R} }|| \approx11.18 \ km } }$

El desplazamiento resultante de la mujer es de aproximadamente 11.18 kilómetros

Dirección y ángulo respecto al Este

La dirección resulta ser al ángulo que se forma con el eje X

Para hallar el ángulo buscado recurrimos a las razones trigonométricas habituales

Si la tangente de un ángulo α se define como la razón entre el cateto opuesto y el cateto adyacente:

Luego empleamos la razón trigonométrica tangente

$\boxed {\bold {tan (\alpha ) = \frac{cateto \ opuesto}{ cateto \ adyacente } } }$

Consideramos como cateto opuesto a la distancia recorrida por la mujer en dirección norte cuyo valor es de 10 kilómetros. Y donde el cateto adyacente es la magnitud del trayecto efectuado por la misma hacia el este de 5 kilómetros

$\boxed {\bold {tan (\alpha ) = \frac{10 \not km}{ 5 \not km } } }$

$\boxed {\bold {tan (\alpha ) = \frac{10}{ 5 } } }$

$\textsf{Simplificando}$

$\boxed {\bold {tan (\alpha ) = 2 } }$

$\textsf{Aplicamos la inversa de la tangente para hallar el \'angulo}$

$\boxed{\bold{ \alpha = arctan \left( 2 \right)}}$              

$\boxed{\bold{ \alpha = 63.4349^o}}$

$\textsf{Aproximando:}$

$\large\boxed{\bold{ \alpha = 63.43^o}}$

La dirección es hacia el Noreste con un ángulo de 63.43° respecto al Este

Se agrega como adjunto la resolución gráfica solicitada