3) Una compañía se dedica a la fabricación de pequeñas cajas con base cuadrada y sin tapa. Si el material utilizado tiene un costo de 2 centavos por pulgada cuadrada, determine las dimensiones de la caja que minimizan el costo del material, si la capacidad de las cajas debe ser igual a 108 pulgadas.
Respuestas a la pregunta
Hay que calcular las dimensiones de esas cajas teniendo en cuenta los datos conocidos:
- Base cuadrada nos indica que tiene un cuadrado de base, es decir que el largo y ancho de la base son iguales.
- El volumen (capacidad) de las cajas es de 108 pulgadas cúbicas.
La caja tal como nos la describen es un paralelepípedo o prisma cuadrangular y el volumen de cualquier poliedro siempre es el producto de sus tres dimensiones: largo × ancho × alto
Para saber las dimensiones de esas cajas, descompondré el dato del volumen en sus factores primos y los agruparé de modo que me queden tres cantidades de las cuales dos serán iguales porque corresponderán a los lados de la base.
108 = 2 × 2 × 3 × 3 × 3 ... que voy a agrupar de este modo...
(2×3) × (2×3) × 3 = 6 × 6 × 3
Y así consigo saber la medida del lado del cuadrado de la base (6 pulgadas) y la altura (3 pulgadas)
Ahora ya solo hay que calcular el área total de esas cajas sin contar la base superior porque nos dice que van sin tapa.
- Área de la base = 6² = 36 pulgadas cuadradas.
- Área lateral = 6 × 3 × 4 = 72 pulgadas cuadradas
- Área total = 36 + 72 = 108 pulgadas cuadradas
(curiosamente coincide con el volumen pero bien es cierto que no hemos tenido en cuenta el área de la base superior)
A 2 centavos por pulgada cuadrada, el costo total es: