Question

3. Un capital de $500.000 se depositó en un fondo de crecimiento monetario. El capital se duplica cada 4 años y al final del 20° año, se terminó el contrato. Por lo que se decide invertir este nuevo capital en otro fondo, con un crecimiento anual de 4%. Después de seis años se sacó todo el capital. a) ¿Cuál es el valor del capital al final del 20° año? b) ¿Cuál es el factor del crecimiento anual para el capital en el segundo fondo? c) ¿Cuál es el valor del capital al terminar el segundo fondo?
con desarollo porfa

Answer 1

Esto se resuelve usando progresiones geométricas PG.

Si el capital se duplica cada 4 años, en 20 años tenemos 5 grupos de 4 años y por tanto tenemos una PG cuyo primer término es el capital inicial (500.000) y nos pide el valor del capital al cabo de 20 años, es decir, nos pide el 5º término de la PG (a₅) y sabemos la razón que relaciona dos términos consecutivos la cual es 2 porque habla de que cada término es el doble que el anterior.

Acudiendo a la fórmula del término general: $a_n=a_1*r^{n-1}$

Sustituyo los datos conocidos.

$a_{5}=500000*2^{5-1} =500000*16=8.000.000$

Respuesta a)

El segundo fondo parte del nuevo capital (8000000) y dice que se revaloriza un 4% anual.

Para saber el factor de crecimiento vuelvo a usar la fórmula anterior teniendo en cuenta que ahora la razón será 1,04 que es el nº por el cual hay que multiplicar cada término para obtener el siguiente, es decir, si multiplico el valor del primer término (a₁) 8000000 por 1,04 me dará el capital al comienzo del segundo año del nuevo fondo y así sucesivamente.

1,04 es la razón de la PG porque el capital del que partimos es el 100% y si cada año se le suma un 4%, el capital al final del año será el producto del inicial por la suma:

100+4 = 104 pero como es porcentaje, se divide por cien saliendo el índice  1,04

El factor que nos pide sale de esa fórmula sustituyendo los datos: a₁ y r

$a_n=8000000*1,04^{n-1}$

donde solo habrá que sustituir "n" por la cantidad de años que queramos saber qué capital se habrá acumulado. Respuesta b)

Para el apartado c) nos pide saber el capital al cabo de 6 años, es decir, el valor del 6º término de esa PG (a₆). Vuelvo a sustituir datos:

$a_6=8000000*1,04^{6-1} =8000000*1,2166529024=9.733.223$

Respuesta c)

Saludos.