Question

3. Si la suma de las áreas de un cubo y de una esfera es una constante real, ¿cuál es la relación entre el radio de la esfera (r) y el lado del cubo (a), si la suma de sus volúmenes de ambas figuras geométricas es mínima?

Answer 1

Respuesta: a = 2r

Explicación:

Ac = 6a²

Ae = 4πr²

Vc = a³

Ve = 4/3 πr³

Ac + Ae = k

6a² + 4πr² = k

Despejando r:

$r=\frac{\sqrt{\pi }\sqrt{k-6a^2}}{2\pi }$

SV =  4/3 πr³ +  a³

$Sv=\frac{4}{3}\pi (\frac{\sqrt{\pi }\sqrt{k-6a^2}}{2\pi })^3+a^3$

Derivando e igualando a cero para obtener cuando el Volumen es minimo:

$\frac{dSv}{da}= -\frac{3a\sqrt{-6a^2+k}}{\sqrt{\pi }}+3a^2\\\frac{dSv}{da}=0\\-\frac{3a\sqrt{-6a^2+k}}{\sqrt{\pi \:}}+3a^2=0\\\:a=\sqrt{\frac{k}{\pi +6}}}$

Luego despejando a en 6a² + 4πr² = k para obtener r:

$\quad r=\frac{\sqrt{\pi +6}\sqrt{k}}{2\pi +12}$

y  Finalmente

$\boxed{\frac{a}{r}=\frac{\sqrt{\frac{k}{\pi \:+6}}}{\frac{\sqrt{\pi \:\:+6}\sqrt{k}}{2\pi \:\:+12}}=2 }$