Question

3- Resuelve la Ecuación Diferencial Homogénea
(x y+ y2) dx -x2dy=0​

Answer 1

Respuesta:

Explicación:

ecuación diferencial de primer orden homogénea:

y' + p(x)y = 0

tenemos:

EDO: (x y+ y2) dx -x2dy=0​

Notemos que del paréntesis podemos factorizar por "y" nos queda:

y(x+2)dx - 2xdy = 0

Ahora bien hay que dejar variables x e y separadas, cada variable a un lado de la igualdad:

$\frac{x+2}{2x}dx = \frac{dy}{y}$

Procedemos a integrar ambos lados de la igualdad:

$\int\limits {\frac{x+2}{2x}} \, dx =\int\limits {\frac{dy}{y}} \\\\\frac{1}{2} \int\limits {\frac{x+2}{x}} \, dx =\int\limits {\frac{dy}{y}} \\\\\frac{1}{2} \int\limits {[1+\frac{2}{x}]} \, dx =\int\limits {\frac{dy}{y}}\\\\\frac{1}{2} \int\limits {1} \, dx+\frac{1}{2} \int\limits {\frac{2}{x}}dx \ =\int\limits {\frac{dy}{y}}\\\\\frac{1}{2} \int\limits {1} \, dx+\int\limits {\frac{1}{x}}dx \ =\int\limits {\frac{dy}{y}}\\\\\frac{x}{2} + ln(x) +C = ln(y)$

como se quiere encontrar y(x), notamos que la variable y esta en un logaritmo natural, para podemos despejamos haremos uso de su función inversa euler (e):

$e^{\frac{x}{2} + ln(x) +C} = e^{ln(y)} \\\\e^{\frac{x}{2}} *e^{ ln(x)}*e^{C} = e^{ln(y)}$

notemos que tenemos:

$e^{ ln(x)} = x$

$e^{ ln(y)} = y$

cualquier operación a una constante C será una nueva constante C:

$e^{C} = C_{1}$

Por lo tanto, nos queda:

$e^{\frac{x}{2}} *x*C_{1} = y$

De esta forma tenemos que la solución de la EDO de primer orden es:

$y(x)=C_{1}e^{\frac{x}{2}} *x$

Espero te sirva, saludos.